章末检测卷(五)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若一工件是扇形，其圆心角的弧度数为2，且该扇形弧所对的弦长也是2，则这个工件的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由题意得扇形的半径为，

故该扇形的面积为×2×＝.

2.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为(　　)

A.－   B.

C.－   D.

答案　D

解析　sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°

＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°

＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°

＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.

3.化简的值为(　　)

A.   B.

C.   D.2

答案　B

解析　依题意得＝

＝＝

＝＝.

4.函数y＝1－2sin2是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数

答案　A

解析　因为y＝1－2sin2

＝cos＝cos

＝－sin 2x，

所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.

5.函数f(x)＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是(　　)

A.x＝   B.x＝ 

C.x＝   D.x＝－

答案　A

解析　∵f(x)＝3cos x－sin x

＝2(cos x－sin x)

＝2cos，

∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，

∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程.

6.函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为(　　)

A.y＝2sin B.y＝2sin

C.y＝2sin D.y＝2sin

答案　A

解析　由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点和点，

则A＝2，T＝π，即ω＝2，

则函数的解析式为y＝2sin(2x＋φ).

将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，

当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin.

7.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P(2，3)，则tan＝(　　)

A.－   B. 

C.   D.－

答案　D

解析　依题意，角α的终边经过点P(2，3)，则tan α＝，tan 2α＝＝－，

于是tan＝＝－.

8.若将函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　将函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin的图象向右平移φ个单位长度，

可得y＝sin

＝sin的图象.

再根据所得图象关于y轴对称，

可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，

即φ＝－－，k∈Z，

故φ的最小正值是.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.将函数y＝sin(x＋φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的取值可能是(　　)

A.－   B. 

C.   D.

答案　AD

解析　图象F′对应的函数为y＝sin，

则＋＋φ＝kπ，k∈Z，

即φ＝kπ－，k∈Z.

令k＝0，得φ＝－，令k＝1，得φ＝，

故φ的取值可能是A，D选项.

10.下列说法中正确的有(　　)

A.正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零

B.若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形

C.对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|

D.对任意角α，都有

＝|tan α|＋

答案　BD

解析　对于A，正角和负角的正弦值都可正、可负、可零，故A错误；

对于B，∵sin α·cos β<0，α，β∈(0，π)，

∴sin α>0，cos β<0，即β∈，

∴三角形必为钝角三角形，故B正确；

对于C，当sin α，cos α异号时，等式不成立，故C错误；

对于D，∵tan α，的符号相同，

∴＝|tan α|＋，故D正确.因此正确的有B，D.

11.关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下述四个结论正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在区间单调递增

C.f(x)在[－π，π]有4个零点

D.f(x)的最大值为2

答案　AD

解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，

∴f(x)为偶函数，故A正确；

当<x<π时，

f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，

∴f(x)在单调递减，故B不正确；

f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故C不正确；

∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，

∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.

12.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)

A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C.把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

答案　AC

解析　由图象知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，

y＝sin(2x＋φ)，

将代入得sin＝0.

所以φ－＝kπ，k∈Z，

取φ＝，得y＝sin.

将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，然后各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，故A正确.

将y＝sin x各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象.然后向左平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin的图象，故C正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.函数y＝sin的图象的对称轴为　　　　，对称中心为　　　　.

答案　x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z

解析　由x－＝＋kπ，k∈Z，

得x＝＋kπ，k∈Z.

由x－＝kπ，k∈Z，

得x＝＋kπ，k∈Z.

故函数y＝sin的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，

对称中心为，k∈Z.

14.已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝　　　.

答案　

解析　∵tan α＝，tan(α－β)＝，

∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

＝＝＝.

15.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝　　　　.

答案　

解析　y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再将每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象.

∴f(x)＝sin，f＝.

16.给出下列命题：

①函数y＝cos是奇函数；

②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；

③y＝2sinx在区间上的最小值是－2，最大值是；

④x＝是函数y＝sin的一条对称轴.

其中正确命题的序号是　　　　Ｗ.

答案　①④

解析　①函数y＝cos

＝－sinx是奇函数，正确；

②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；

③y＝2sinx在区间上的最小值是－2，最大值是2，不正确；

④sin＝sin＝－1，正确.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－.

(1)求t和cos θ的值；

(2)求＋3sin(π－θ)·cos(π＋θ)的值.

解　(1)因为r＝|OP|＝，

所以sin θ＝＝－，解得t＝－.

所以θ为第四象限角.

所以cos θ＝＝.

(2)＋

3sin(π－θ)cos(π＋θ)

＝＋3sin θ(－cos θ)

＝－1.

18.(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.

解　(1)∵f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)∵f(α)＝，

∴sin＝.

∴sin＝.

∵α∈，∴≤2α＋≤.

∴cos＝－.

∴cos 2α＝cos

＝coscos ＋sinsin

＝－×＋×＝－.

19.(12分)已知函数y＝2sin.

(1)试用“五点法”画出它的图象；

(2)求它的振幅、周期和初相；

(3)根据图象写出它的单调递减区间.

解　(1)令t＝＋，列表如下：

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：

(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.

(3)由图象得单调递减区间为(k∈Z).

20.(12分)如图，某吊车的车身高2.5 m，吊臂长24 m，现在要把一个直径为3 m，长6 m的圆柱形屋顶构件水平地吊到14 m高的屋顶上安装(按图示方式吊起)，且在安装过程中屋顶构件不能倾斜，那么此吊车能否吊装成功？

解　设吊臂与水平面的倾斜角为α，屋顶构件底部与地面的距离为h.

当构件恰与吊臂相贴时，它离地面最高，

此时24sin α＋2.5＝h＋3＋3tan α，

∴h＝24sin α－3tan α－.

当α＝时，h＝12－3－＝9－0.5≈15.1>14.

故此吊车能吊装成功.

21.(12分)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)－k＝0在区间上有实数解，求实数k的取值范围.

解　(1)∵f(x)＝sin xcos x＋cos2x－

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到g(x)＝sin的图象.

∵0≤x≤，∴≤x＋≤.

∴≤sin≤1，∴≤g(x)≤1.

∴关于x的方程g(x)－k＝0在区间上有实数解，即g(x)的图象与直线y＝k有交点.

∴≤k≤1，∴k的取值范围为.

22.(12分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.

(1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求2 019 min时点P距离地面的高度；

(2)当点P距离地面(50＋20)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？

解　(1)依题意，A＝40，h＝50，T＝3，

则ω＝，

所以f(t)＝40sin＋50，

由f(0)＝10，|φ|<π，可知φ＝－.

故在时刻t时点P距离地面的高度

f(t)＝40sin＋50(t≥0).

因此f(2 019)＝40sin＋50＝10，

故2 019 min时点P距离地面的高度为10 m.

(2)由(1)知f(t)＝40sin＋50

＝50－40cos，其中t≥0.

依题意，令f(t)>50＋20，

即－40cos>20，

所以cos<－，

解得2kπ＋<t<2kπ＋，k∈Z，

则3k＋<t<3k＋，k∈Z.

由3k＋－＝0.5，

可知转一圈中有0.5 min时间可以看到公园全貌.