高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数课堂教学课件ppt

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以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
提示　解析式是幂的形式：(1)底数是自变量，(2)指数是常数.一般形式可用y＝xα表示.
2.填空　一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是________，α是常数.温馨提醒　幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
3.做一做　下列函数中是幂函数的是(　　)
二、幂函数的图象与性质
(1)函数图象有什么共同特征？提示　五个幂函数的图象：
(2)在第一象限，函数图象具有哪些特点？提示　(1)当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势.当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势.
2.填空　观察问题中的函数图象，填写下面表格
(－∞，0)∪(0，＋∞)
温馨提醒　对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
3.做一做　(1)关于函数y＝x4，下列说法不正确的是(　　)A.定义域为RB.在区间(0，＋∞)内单调递增C.图象不过点(0，0)D.是偶函数(2)已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝________.解析　(1)当x＝0时，y＝0，故y＝x4的图象过点(0，0)，C不正确.(2)由于幂函数y＝xα的图象经过点(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝(－3)2＝9.
4.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)函数y＝x0是幂函数.( )(2)所有幂函数的图象均过点(0，0).( )提示　y＝x－1不过点(0，0).(3)幂函数一定具有奇偶性.( )
(4)任何幂函数的图象都不经过第四象限.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
题型一　与幂函数的概念有关的问题
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)xα系数为1.
训练1 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________.(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)
解析　(1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.(2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
题型二　幂函数的图象及应用
则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－11.幂函数图象的画法：(1)根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.(2)再结合定义域及奇偶性确定函数在其他象限内的图象.2.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系.
训练2 (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A.－11D.n<－1，m>1
解析　在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0题型三　幂函数的性质及应用
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
比较幂值大小的两种基本方法
训练3 比较下列各组数的大小：
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
解　∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.
角度2　幂函数性质的综合应用
解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.
∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去).
1.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小.2.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
A.1 B.2 C.3 D.4解析　②⑦底数不是自变量，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
解析　设幂函数y＝xα，
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.nm>0 D.m>n>0解析　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由幂函数图象的特点知n5.(多选)下列结论正确的是(　　)A.幂函数的图象不可能在第四象限内B.当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线C.当n>0时，幂函数y＝xn是增函数D.当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小解析　当x>0时，y>0；当x<0时，y>0或y<0，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故A正确；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，故B错误；y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C错误；幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x增大而减小，故D正确.故选AD.
6.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是____________.解析　因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，故α<0.
7.给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.则正确结论的序号为________.解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确； 幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确；④正确.
又f(10－2a)解　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示.由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)10.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不单调，求实数a的取值范围.解　(1)由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
即2(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号).
解析　对于函数①，f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
解　∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，则m<3.又m∈N*，所以m＝1或m＝2.因为函数的图象关于y轴对称.所以3m－9为偶数，故m＝1.
所以a＋3>5－2a>0或5－2aA.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断解析　令m2－m－1＝1得m＝－1或m＝2.
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.当m＝－1时，f(x)＝x－3，不合题意.当m＝2时，f(x)＝x3满足题意.所以f(a)＋f(b)＝a3＋b3.因为a＋b>0，ab<0，所以f(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>0.