数学2.2 基本不等式优质教学设计

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第二章　一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（共2课时）2.2.1基本不等式（第1课时） 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式等号成立条件；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为,（）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数,，我们有，当且仅当时，等号成立。3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，当且仅当时等号成立4．（1）基本不等式：如果,,我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（,)（当且仅当时，取等号）5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。（2）从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。用分析法证明：证明不等式证明：要证只要证只要证只要证显然，是成立的．当且仅当时，（3）中的等号成立．【归纳总结】1、由图我们得到了重要不等式：(1)通过换元我们得到了基本不等式：（2）两个不等式的区别和联系：区别：,范围不同;联系:等号成立的条件相同（3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系（三）典例解析利用基本不等式求最值解析：解析：基本不等式的使用条件解析：解: ∵  , 当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号.∴当时, 函数y=x(1-2x)的最大值是.跟踪训练 通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。      通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，不仅培养了学生严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程，培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意识。                                  从不同的侧面理解不等式，培养学生数形结合的思想意识。 ；                                  通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤；一正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯，训练思维的灵活性。 三、达标检测1．下列不等式中，正确的是(　　)A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若，则的最小值是(　　)A．     B．C.D．解析：选D.，所以，所以.　当且仅当即时取等号．3．若，都是正数，则的最小值为(　　)A．       B．       C．     D．解析：选C.因为a，b都是正数，所以，当且仅当b＝2a＞0时取等号．4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.         通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的逻辑推理和数学运算素养。    四、小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).五、作业1.习题2.21,2,4,5题2. 预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；