数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）公开课教案

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4.5.3 函数模型的应用必备知识·探新知基础知识知识点1.指数函数与对数函数模型指数函数模型(，，为常数，，且)对数函数模型(，，为常数，，且) 知识点2.解函数应用题的基本思路与步骤1．建立函数模型解决实际问题的基本思路2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为，因变量为.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．第三步，转译成实际问题的解． 知识点3.拟合函数模型问题定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．1．建立拟合函数模型的步骤(1)收集数据．(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．(4)选择其中的几组数据求出函数模型．(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．(6)用所得函数模型解释实际问题．2．建立拟合函数模型的一般流程根据建立拟合函数模型的步骤，我们用下图来表示建立拟合函数模型的一般流程． 基础自测1．某厂年的产值为万元，预计产值每年以的速度递增，则该厂到年的产值(单位：万元)是（）A．　　　 B．C．         D．2．某种细菌经分钟个数变为原来的倍，且该种细菌的繁殖规律为，其中为常数，表示时间(单位：时)，表示繁殖后细菌总个数，则_________，经过小时，个细菌通过繁殖个数变为__________.3．某种动物繁殖数量(只)与时间(年)的关系为，设这种动物第年有只，则第年它们繁殖到_______只．4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下个模拟函数：①；②；③；④；⑤.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______(填序号)． 关键能力·攻重难题型探究题型一：指数函数模型的应用例1.年月日世界人口达到亿，假设世界人口年增长率为，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：预测什么时候世界人口会翻一番？[分析]　解指数方程，要进行指对式互化．[解析]　由年世界人口数据，把，代入马尔萨斯人口模型，得.解不等式得.所以由马尔萨斯人口模型估算，经过年后，即年世界人口达到亿．[归纳提升]　指数型函数问题的类型及解法(1)指数型函数模型：(且，)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【对点练习】❶目前某县有万人．经过年后为万人．如果年平均增长率是.请回答下列问题：(1)写出关于的函数解析式；(2)计算年后该县的人口总数(精确到万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到万(精确到年)．  题型二：对数函数模型的应用例2.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：，，)．(1)当，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，候鸟的飞行速度是多少?(2)当，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为，同类雌鸟的飞行速度为，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？[分析](1)将，代入解析式求速度．(2)利用候鸟休息的速度为解题．(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．[解析](1)由题意，，，得，故此时候鸟的飞行速度为.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是，可得，，即，解得：，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为个单位．(3)设雄鸟的耗氧量为，雌鸟的耗氧量为，由题意得：，两式相减可得，解得：，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的倍．[归纳提升]　对数型函数问题的类型及解法(1)对数型函数模型：(，且)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【对点练习】❷大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数，其中，为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为个单位；而当它的游速为时，其耗氧量为个单位．(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式；(2)求当一条鲑鱼的游速不高于时，其耗氧量至多需要多少个单位． 误区警示忽视实际问题对定义域的限制致误例3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？[错解]　设该企业所能获取的最大利润为万元，则，即，故的最大值为，即该企业所能获取的最大利润为万元．[错因分析]　题目中的条件已经暗示了为自然数，而该错解中却是在时取到的最大值，这种情况在实际中是无法操作的．[正解]　设该企业所能获取的最大利润为万元，则，即，故当或时，取最大值，即该企业生产件或件商品时所取得的利润最大，为万元． 学科素养二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．例4.已知函数.(1)证明：有且仅有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.[解析]　(1)∵函数，在上都是增函数，∴在上是增函数，∴至多有一个零点，由，，∴，∴在内至少有一个零点，∴有且仅有一个零点．(2)∵，，取，，∴，∴的零点．取，，∴，∴．∵，∴满足题意的区间为． 巩固提升·课后练布置作业