高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念一等奖教学设计

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5.2.2 同角三角函数的基本关系最新课标理解同角三角函数的基本关系式：.[教材要点 ]        要点  同角三角函数的基本关系式状元随笔 ( 1 )利用可实现的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.（2）关系式的逆用及变形用：，，.【教材答疑】    同角三角函数的基本关系    ( 1 ) 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角( 在使函数有意义的前提下 )，关系式都成立，与角的表达形式无关，如 .（2）是的简写，不能写成.（3）在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子不成立，再如：就不一定恒成立.【基础自测】1.判断正误.( 正确的画“√”，错误的画“×”)（1）因为，所以成立，其中，为任意角.（×）（2）对任意角，都成立.（×）（3）.（√）（4）对任意的角，都有成立.（×）2.若为第二象限角，且，则（   ）A.   B.    C.   D.答案：A解答：∵为第二象限角，∴.3.已知，且，则的值是（   ）A.    B.    C.    D.答案：A解答：∵，∴.由，，得.4.已知，则的值是.答案：解答：.题型一  利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究微点1  已知角的某个三角函数值,求其余三角函数值例1  （1）已知，且是第三象限角，求，的值；（2）已知，求，的值. 状元随笔  在使用开平方关系和时,一定要注意正负号的选取,确定正负号的依据是角所在的象限.解析：（1）∵，∴.又∵是第三象限角，∴，即，∴.（2）∵，∴是第二或第三象限角，当是第二象限时，，，∴，.当是第三象限角时，，，∴，.微点2  利用弦化切求值例2已知，求下列各式的值.（1）；（2）解析：（1）原式.（2）原式.状元随笔   所求式子都是关于、的分式齐次式(或可为分式齐次式),将其分子、分母同除以的整数次幂,就是把所求式子用表示，再求式子的值. 微点3  与，有关的值.例3  已知，，求：（1）；（2）.解析：（1）∵，∴，即，∴.（2）∵，由（1）知，∴.状元随笔  此类问题求值时,若涉及开方,要注意利用角的范围确定三角函数值的符号.如改题容易忽略角的取值范围得，实际上,结合这一条件,可以确定的符号.跟踪训练1 （1），，则（   ）A.B.C.D.答案：D解答：∵，，∴，∴.（2）已知，则的值为（   ）A.B.C.D.答案：A解答：，解得.（3）已知，且，则.答案：解答：∵，∴，解得，∴.∵且，∴，，∴，∴.题型二  利用同角三角函数关系化简——师生共研例4  化简：（1）；（2）.解析：（1）.（2）.方法归纳三角函数式的化简技巧（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造，以降低次数,达到化简的目的.跟踪训练2  （1）化简：；（2）化简：.解析：（1）原式.（2）原式.题型三  利用同角三角函数关系证明——师生共研例5 求证：.证明：左边右边，∴原式成立.方法归纳证明简单三角恒等式的思路（1）从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则.（2）证明左右两边等于同一个式子.（3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于.（4）证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.跟踪训练3  求证：.证明：左边右边，∴原式成立.