高中数学5.3 诱导公式优秀教案及反思

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5.3 诱导公式知识点一　同角三角函数基本关系式1．平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1(α∈R)．2．商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．易误提醒　利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．必备方法　三角函数求值与化简的常用方法1．弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．2．和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．3．巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….[自测练习]1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　)A．－　　　　　　 B.C．－2  D．2解析：由已知得sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－2.答案：C2．若tan α＝2，则的值为(　　)A．－  B．－C.  D.解析：＝＝＝.答案：C知识点二     　诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α  口诀函数名不变符号看象限函数名改变，符号看象限 必记结论　对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[自测练习]3．sin 600°＋tan 240°的值等于(　　)A．－  B.C.－  D.＋解析：原式＝sin 240°＋tan(180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝.答案：B4．已知<θ<π，sin＝－，则tan(π－θ)的值为(　　)A.  B.C．－  D．－解析：∵sin＝－，∴cos θ＝－，又∵<θ<π，∴sin θ＝，∴tan(π－θ)＝－tan θ＝.答案：B  考点一　三角函数的诱导公式|1．(2015·肇庆模拟)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：由sin＝，得cos α＝，又∵α∈，∴sin α＝，sin(π＋α)＝－sin α＝－.答案：D2．已知f(α)＝，则f的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：f(α)＝＝＝sin α×＝cos α.∴f＝cos＝cosπ＝cos＝.答案：A3．化简：＝________.解析：原式＝＝＝＝1.答案：1应用诱导公式时应注意的两个问题(1)由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(2)将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程：→→→　　考点二　同角三角函数的基本关系|同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点、难度不大、归纳起来常见的命题探究角度有：1．知弦求弦、切问题．2．知切求弦问题．3．sin α±cos α，sin α，cos α的关系应用问题．4．已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题．探究一　知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)A．－  B.C．±  D．－k解析：由cos α＝k，α∈得sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.答案：A2．(2016·厦门质检)若α∈，sin(π－α)＝，则tan α＝(　　)A．－  B.C．－  D.解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－，∴tan α＝－.答案：C探究二　知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：tan(α－π)＝⇒tan α＝.又因为α∈，所以α为第三象限角，所以sin＝cos α＝－.答案：B探究三　sin α±cos α、sin αcos α关系应用问题4．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：将cos θ＋sin θ＝两边平方得1＋2sin θcos θ＝，解得2sin θcos θ＝，由于0<θ<，故cos θ>sin θ，因此sin θ－cos θ＝－＝－＝－＝－，故选B.答案：B探究四　已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题5．已知＝5，则tan α的值为(　　)A.  B．－C．－2  D．2解析：由于＝5，故＝5，所以tan α＝2.答案：D6．已知tan(θ－π)＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3的值为________．解析：法一：由tan(θ－π)＝2得tan θ＝2，故cos2θ＝，sin2θ＝，sin θcos θ＝，故sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3＝.法二：由tan(θ－π)＝2得tan θ＝2，所以sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3＝＋3＝＋3＝.答案：同角三角函数基本关系式应用时两个注意点(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　10.sin α±cos α及sin α，cos α之间的方程思想【典例】　(1)(2015·揭阳模拟)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)A．－　　　　　　　 B.C．－  D.(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.[思路点拨]　(1)可先考虑cos α－sin α的符号，然后平方解决．(2)将条件化简可得sin α＋cos α＝，然后两边平方可求sin αcos α的值，然后同问题(1)解决．[解析]　(1)∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.又∵<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α＝.[答案]　(1)B　(2)[思想点评]　1.sin α±cos α与sin αcos α充分体现了方程思想的运用，即“知一求二”，其关系是：(1)(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.(2)(sin α－cos α)2＋2sin αcos α＝1.(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.2．注意sin α＋cos α，sin α－cos α在各象限取值符号的判断．[跟踪练习]　已知－<x<0，sin x＋cos x＝，则sin x－cos x＝________.解析：将等式sin x＋cos x＝两边平方，得sin2x＋2sin x·cos x＋cos2x＝，即2sin xcos x＝－，∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.又－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.答案：－A组　考点能力演练1．已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)A.  B.C．－  D．±解析：因为cos＝，所以sin α＝－，显然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.答案：B2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是(　　)A.  B.C.  D.解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝.答案：C3．(2015·枣庄模拟)已知cos α＝，－<α<0，则的值为(　　)A．2  B．－2C．－  D.解析：＝＝－，∵cos α＝，－<α<0，∴sin α＝－，原式＝.答案：D4．已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，则sin α＝(　　)A.  B．－C.  D．－解析：由2tan α·sin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－<α<0，解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－.答案：B5．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限解析：∵△ABC是锐角三角形，则A＋B>，∴A>－B>0，B>－A>0，∴sin A>sin＝cos B，sin B>sin＝cos A，∴cos B－sin A<0，sin B－cos A>0，∴点P在第二象限，选B.答案：B6．已知α∈，cos α＝，则sin＝________.解析：因为α∈，所以sin(π－α)＝sin α＝＝.答案：7．(2015·南昌调研)已知tan α＝2，则cos·cos的值为________．解析：本题考查三角函数基本公式．依题意得cos(π＋α)cos＝cos αsin α＝＝＝.答案：8．(2015·长沙一模)设f(x)＝sin，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.解析：由于f(x)＝sin，所以f(n＋6)＝sin＝sin＝sin＝f(n)，所以f(x)是以6为周期的函数，由于f(1)＝f(2)＝，f(3)＝f(6)＝0，f(4)＝f(5)＝－，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.答案：09．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin·tan的值．解：∵cos＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)·＝sin α·tan＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.10．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.求下列各式的值．(1)sin α－cos α；(2)sin3＋cos3.解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，两边平方，得1＋2sin α·cos α＝，故2sin α·cos α＝－.又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－＝，∴sin α－cos α＝.(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α)＝－×＝－.B组　高考题型专练1．(2015·高考福建卷)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)A.  B．－C.  D．－解析：因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－，故选D.答案：D2．(2013·高考大纲全国卷改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则tan α的值是(　　)A.  B．－C.  D．－解析：∵sin α＝，且α是第二象限角，∴cos α＝－＝－，则tan α＝＝－.答案：B3. (2013·高考浙江卷改编)已知sin α＋2cos α＝(α∈R)，则tan 2α＝________.解析：由sin α＋2cos α＝，平方得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，整理，3sin2α－8sin αcos α－3cos2α＝0，∴3tan2α－8tan α－3＝0，则tan α＝3或tan α＝－.代入tan 2α＝，得tan 2α＝－.答案：－4．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．解析：sin α＋2cos α＝0⇔tan α＝－2，所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.答案：－15．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解：(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝＝1.