高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质公开课第2课时教案

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第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1正弦、余弦函数的最值
正弦曲线：

余弦曲线：

可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R，__值域___都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cosx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
思考2：(1)正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知：

当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.

推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.
基础自测
1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( C )
A．[0，π] B．[，]
C．[－，] D．[π，2π]
2．下列函数中在上是增函数的是( D )
A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
【解析】y＝sinx在上是减函数，不满足条件．y＝cosx在上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在上是增函数，满足条件．
3．函数y＝3sin的一个单调递减区间为( B )
A． B．
C． D．
【解析】y＝3sin＝－3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B．
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为___________________.
【解析】∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－(k∈Z)．
5．函数y＝sinx(≤x≤)的值域为_______________.

关键能力·攻重难
题型探究
题型一三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos(2x＋)；
(2)y＝3sin－3x)．
【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
【解析】(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)y＝3sin(－3x)＝－3sin(3x－)．
令z＝3x－，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．
∴－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.即－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以原函数的单调减区间为[－＋，＋]，k∈Z.
【归纳提升】
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω