人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换获奖教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换获奖教案，共17页。教案主要包含了素养目标，学法解读，对点练习等内容，欢迎下载使用。
第五章三角函数5.5　三角恒等变换5.5.2　简单的三角恒等变换【素养目标】1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理)2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．必备知识·探新知基础知识知识点一　半角公式cos＝±()，sin＝±()，tan＝±()．思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对α∈R都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.所以sin2＝，cos2＝，tan2＝.开方可得半角公式．(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．(3)公式，对α∈R都成立，但公式要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．        基础自测1．下列说法中正确的个数是(　A　)①sin＝±.　②cos20°＝±.③tan＝＝.　④sin4α＋cos4α＝2sin(4α＋)．A．1　　 B．2　　C．3　　 D．4[解析]　①②③错误，④正确，故选A．2．已知180°<α<360°，由cos的值等于(　C　)A．－ B．C．－ D．3．已知cosα＝，α∈，则sin等于(　B　)A．－ B．C． D．－[解析]　∵α∈，∴∈，∴sin＝＝.4．sinx－cosx等于(　C　)A．sin2x　　　　　　　　 B．sinC．sin D．sin[解析]　原式＝＝sin.5．已知cos θ＝，且270°<θ<360°，试求sin和cos的值．[解析]　∵270°<θ<360°，∴135°<<180°，∴sin>0，cos<0.∴sin＝＝＝；cos＝－＝－＝－. 关键能力·攻重难题型探究题型一　应用半角公式给角求值例1　求下列式子的值：sin 75°、cos 75°、tan 75°.[分析]　75°是150°的半角．[解析]　sin 75°＝＝＝＝＝＝＝.cos 75°＝＝＝＝＝＝＝.tan 75°＝＝＝＝2＋.或tan 75°＝＝＝＝2＋.或tan 75°＝＝＝2＋.或tan 75°＝＝＝2＋.[归纳提升]　求sin 75°、cos 75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan 75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin 75°、cos 75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°，cos 75°＝cos(90°－15°)＝sin 15°，再利用半角公式求解．【对点练习】❶求值tan＋.[解析]　方法一：tan＋＝＋＝＋＝＋＝＋2＋＝－1＋2＋＝1＋＋.方法二：tan＋＝＋＝＋＝－1＋2＋＝1＋＋. 题型二　应用半角公式求值例2　已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.[分析]　已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．[解析]　∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－.∵<<，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－，tan＝＝2.[归纳提升]　已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．【对点练习】❷设π<θ<2π，cos＝－，求：(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2的值．[解析]　(1)∵π<θ<2π，∴<<π，又cos＝－，∴sin＝＝＝，∴sinθ＝2sincos＝2×(－)×＝－.(2)cosθ＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－.(3)sin2＝＝＝. 题型三　三角恒等式的化简与证明例3　求证：tan－tan＝.[分析]　可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝－，2x＝＋，从消除等式两边角的差异入手考虑．[证明]　证法一：tan－tan＝－＝＝＝＝＝.证法二：＝＝＝－＝tan－tan.[归纳提升]　化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．【对点练习】❸求证：＝sin2α.[证明]　证法一　左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．证法二　左边＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．证法三：　左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．∴原式成立．  误区警示忽略对角的终边所在象限的讨论例4　已知sinα＝，求sin，cos与tan的值．[错解]　∵sinα＝，∴cosα＝±.(1)当cosα＝时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±.(2)当cosα＝－时，sin＝±＝±，cos＝±＝±，tan＝＝±3.[错因分析]　由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值．另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．[正解]　由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角．(1)当α是第一象限角时，cosα＝，且为第一或第三象限角，于是①当为第一象限角时，sin＝＝，cos＝＝，tan＝＝；②当为第三象限角时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝.(2)当α是第二象限角时，cosα＝－，且为第一或第三象限角，于是①当为第一象限角时，sin＝，cos＝，tan＝＝3；②当为第三象限时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝3.[方法点拨]　(1)应用公式sin＝±，cos＝±以及tan＝±时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．    学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．例5　已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．[分析]　(1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．[解析]　(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋)·cos(x＋)＝＋sin2x＋sin(2x＋)＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋.由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.cos2α＝＝＝－.所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.由x∈[，]，得≤2x＋≤.所以－≤sin(2x＋)≤1,0≤f(x)≤.所以f(x)的取值范围是[0，]．[归纳提升]　利用三角恒等变换的解题技巧(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．               课堂检测·固双基1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝(　A　)A．－　　 B．　　C．2　　 D．－2[解析]　∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A．2．若θ∈[，]，且sin2θ＝，则sinθ＝(　D　)A． B．C． D．[解析]　本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[，]，∴2θ∈[，π]，∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－＝－，又sin2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，故选D．3．设－3π<α<－，则化简的结果是(　C　)A．sin B．cosC．－cos D．－sin[解析]　∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有(　C　)A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<c<a[解析]　a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝＝sin25°，∴b>c>a.故选C．5．已知tan(α＋)＝2，则的值为(　A　)A．－ B．C． D．－[解析]　tanα＝tan[(α＋)－]＝＝，原式＝＝tanα－＝－＝－，故选A．                   素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．(2019·陕西省西安市段考)的值等于(　A　)A．sin 40° B．cos 40°C．cos 130° D．±cos 50°[解析]　＝＝＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin 40°，故选A．2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　C　)A．1 B．－1C．0 D．±1[解析]　因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.3．若sinθ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝(　B　)A．3＋ B．3－C．3＋ D．3－[解析]　因为<θ<3π，所以cosθ＝－＝－.因为<<，所以sin<0，cos<0，所以sin＝－＝－，cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　D　)A． B．C． D．[解析]　由＋＝4，得＝4，所以＝4，sin2θ＝.5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于(　B　)A． B．－C．－ D．[解析]　由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.6.·等于(　B　)A．tanα B．tan2αC．1 D．[解析]　原式＝＝＝＝tan2α.二、填空题7．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__－3__.[解析]　根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－，3π<θ<，得cosθ＝－，从而tan＝＝＝－3.8．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝__－__.[解析]　∵<α<π，∴tanα＝－＝－.9．若sin2α<0，cosα<0，则cosα＋sinα＝__sin(α－)__.[解析]　由题可知α为第二象限角，且<<.原式＝cosα＋sinα＝－cosαtan(－)＋sinα·tan＝－2sin2(－)＋2sin2＝－1＋cos(－α)＋(1－cosα)＝sin(α－)．三、解答题10．求证：＝.[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值．[解析]　因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝＝.所以tan＝＝＝.B组·素养提升一、选择题1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是(　C　)A．[0，] B．[，1]C．[，] D．[0,1][解析]　cos2A＋cos2B＝＋＝1＋(cos2A＋cos2B)＝1＋cos·cos＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)．∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[，]．2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若<θ<π，则－＝(　D　)A．2sin－cos B．cos－2sinC．cos D．－cos[解析]　∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.∵1－sinθ＝sin2＋cos2－2sincos＝(sin－cos)2，(1－cosθ)＝sin2，∴－＝－＝(sin－cos)－sin＝－cos.3．(多选题)下列各式中，值为的是(　AC　)A． B．tan15°cos215°C．cos2－sin2 D．[解析]　A符合，原式＝×＝tan45°＝；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝sin30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan60°＝，故选AC．4．(多选题)下列各式与tanα相等的是(　CD　)A．B．C．·(α∈(0，π))D．[解析]　A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.二、填空题5．已知tan＝，则cosα＝____.[解析]　∵tan＝±，∴tan2＝.∴＝，解得cosα＝.6．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于____.[解析]　∵0<θ<，sin＝，∴cos＝＝.∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝.7．(sin＋cos)2＋2sin2(－)的值等于__2__.[解析]　原式＝1＋sinα＋2·＝1＋sinα＋1－sinα＝2.三、解答题8．已知cos(x＋)＝且<x<，求的值．[解析]　原式＝＝，cosx＋sinx＝sin(x＋)，由<x<，即<x＋<2π，知sin(x＋)<0，由cos(x＋)＝(cosx－sinx)＝，得cosx－sinx＝，且sin(x＋)＝－，对cosx－sinx＝两边平方得1－2sinxcosx＝.∴2sinxcosx＝.∴原式＝＝－.9．已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小．[解析]　由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，∴sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sinB(sinA－cosA)＝0，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴sinA＝cosA，∵A∈(0，π)，∴A＝，从而B＋C＝.由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos(－2B)＝0，∴sinB－sin2B＝0，sinB－2sinBcosB＝0，∴cosB＝，∴B＝，∴C＝.于是A＝，B＝，C＝.