沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用公开课教案

23．2　解直角三角形及其应用

第1课时　解直角三角形

教学目标

【知识与技能】

在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

【情感、态度与价值观】

在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用．

重点难点

【重点】

直角三角形的解法．

【难点】

灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

教学过程

一、复习回顾

师：你还记得勾股定理的内容吗？

生：记得．

学生叙述勾股定理的内容．

师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？

生：两锐角互余．

师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？

生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．

师：很好！

二、共同探究，获取新知

1．概念．

师：由sin A＝，你能得到哪些公式？

生甲：a＝c·sin A.

生乙：c＝.

师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．这些公式有一个共同的特点，就是式子的右端至少有一条边，为什么会是这样的呢？

学生思考．

生：因为左边的也是边，根据右边边与角的关系计算出来的应是长度．

师：对！解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角，我们现在看看解直角三角形的概念．

教师板书：

在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．

2．练习

教师多媒体课件出示：

(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形；

师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？

生1：根据cos 60°＝，得到AB＝，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．

生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin 60°＝得到BC＝AB·sin 60°，从而得到BC边的长．

师：你们回答得都对！还有没有其他的方法了？

生3：可以求出AB后用AB的值和∠B的余弦求BC的长．

生4：可以在求出AB后不用三角函数，用勾股定理求出BC.

师：同学们说出这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形．

学生思考，计算．

师：这两个题目中已经给出了图形，现在我们再看几道题．

教师多媒体课件出示课本第124页例1.

师：你怎样解答这道题呢？先做什么？

生：先画出图形．

师：很好！现在请同学们画出大致图形．

学生画图．

教师找一生说说解这个直角三角形的思路，然后让同学们自己做，最后集体订正．

解： ∠A＝90°－42°6′＝47°54′.

由cos B＝，得

a＝ccos B＝287.4×0.7420≈213.3.

由sin B＝得

b＝csin B＝287.4×0.670 4≈192.7.

教师多媒体课件出示课本第125页例2.

师：这道题是已知了三角形的两条边和一个角，求三角形的面积．要先怎样？

学生思考．

生：先画出图形．

师：对，题中没有已知图形时，一般都要自己画出图形．然后呢？你能给出解这道题的思路吗？

生1：先计算AB边上的高，以AB为底，AB边上的高为三角形的高，根据三角形的面积公式，就能计算出这个三角形的面积了．

生2：还可以先计算AC边上的高，然后用三角形的面积公式计算这个三角形的面积．

师：很好！我们现在讨论以AB为底时求三角形面积的方法，怎样求AB边上的高呢？

教师找一生回答，然后集体订正．

解：如图，作AB上的高CD.

在Rt△ACD中，CD＝AC·sin A＝bsin A，

∴S△ABC＝AB·CD＝bcsinA.

当∠A＝55°，b＝20 cm，c＝30 cm时，有

S△ABC＝bcsin A＝×20×30×sin 55°

＝×20×30×0.819 2

≈245.8(cm2)．

三、课堂小结

师：本节课，我们学习了什么内容？

学生回答．

师：你还有什么不懂的地方吗？

学生提问，教师解答．

第2课时　解直角三角形的应用(1)

 教学目标

【知识与技能】

使学生掌握仰角、俯角的概念，并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．

【过程与方法】

让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．

【情感、态度与价值观】

使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．

重点难点

【重点】

将实际问题转化为解直角三角形问题．

【难点】

将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．

教学过程

一、创设情境，导入新知

教师多媒体课件出示：

操场上有一根旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．

师：请同学们思考这个问题，想想他是如何计算的．

学生思考，讨论．

师：如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素，你能不能算出？

生：能．

师：很好！现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量，需要求的是什么量？

生：已知了一个直角梯形的一条底边，一条腰长，并且容易算出它的一个内角，求它的另一底．

师：对，那你知道小明是怎么算的吗？

学生思考，交流．

生：先把各个顶点用字母标出，然后作辅助线，构造直角三角形．

教师找一生板演，并让他解释自己的思路．

二、共同探究，获取新知

1．讲解．

师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．

教师在黑板上作图．

师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线以下的角叫做俯角．

注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；

(2)仰角和俯角都是锐角．

师：我们自己测量角时用什么工具啊？

生：量角器．

量：测量仰角、俯角也有专门的工具，是测角仪．

2．练习新知．

教师多媒体课件出示：

(1)如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________是________；从B看A的______角是________．

师：你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗？

生：能．

教师找一生回答，然后集体订正得到：

从A看D的仰角是∠2，从B看D的俯角是∠FBD，从A看B的仰角是∠BAC，从D看B的仰角是∠3，从B看A的俯角是∠1.

教师多媒体课件出示：

(2)如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°.已知甲楼的高AB＝24米，求乙楼的高CD.

学生看题思考．

师：这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决，但现在还没有直角三角形呢，你怎样求？

生：因为AB⊥BD，CD⊥BD，所以过A作AE∥BD，即有AE⊥BD，得到 Rt△ACE和Rt△ADE，确定仰角和俯角．已知AB＝24米，可知DE＝24米，可求出AE，进而求出CE.

教师作图．

师：然后怎样做呢？

老师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．

解：在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠EAC＝α＝30°.

∵tan α＝＝，

∴CE＝8tan α＝8×tan 30°＝8×＝8(米)．

∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．

三、例题讲解

教师多媒体课件出示课本第126页例3.

解：在Rt△ACD中，∠ACD＝52°，CD＝EB＝8 m.

由tan∠ACD＝，得

AD＝CD·tan∠ACD＝8×tan 52°＝8×1.279 9≈10.2(m)．

由DB＝CE＝16 m得

AB＝AD＋DB＝10.2＋1.6＝11.8(m)．

答：树高AB为11.8 m.

教师多媒体课件出示课本第127页例4.

解：设AB1＝x m.

在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1＝45°，

得C1B1＝AB1.

在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1＝30°，得

tan∠AD1B1＝＝，

即　＝.

解方程，得x＝25(＋1)≈68.

∴AB＝AB1＋B1B≈68＋1＝69(m)．

答：电视塔的高度为69 m.

四、课堂小结

师：本节课，我们学习了什么内容？

学生回答．

师：你还有什么不懂的地方吗？

学生提问，教师解答．

第3课时　解直角三角形的应用(2)

教学目标

【知识与技能】

会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题．

【过程与方法】

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法．

【情感、态度与价值观】

使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．

重点难点

【重点】

解决有关坡度的实际问题．

【难点】

理解坡度的概念和有关术语．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：在现实生活中，经常会有建筑大坝、修地基等，它们的截面上底和下底不是同样宽的，侧面是有斜坡的，且倾斜程度是不一样的，这些在设计图纸上都要注明，以便施工时遵循．

教师多媒体课件出示：

已知一个大坝的横截面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．

学生思考．

二、新课讲授

1．回忆旧知识．

师：我们先来回忆一下坡度与坡角的概念．

学生看课本．

老师作图：

师：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度或坡比，通常用小写字母i表示，坡面与水平面的夹角叫做坡角或倾斜角，一般用α表示．坡度与坡角的关系是：坡度越大，坡角越大．

2．例题讲解．

教师多媒体课件出示课本第127页例5.

分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10 n mile.

解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x n mile.

在Rt△ACD中，AD＝＝.

在Rt△BCD中，BD＝＝.

由AB＝AD－BD，得

AB＝－＝20，即－＝20，

解方程，得x＝10>10.

答：这船继续向东航行是安全的．

教师多媒体课件出示课本第129页例6.

解：过点C作CD⊥AD于点F，得

CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.

∵BE＝5.8 m，＝，＝，

∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．

∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．

由tan α＝i＝，tan β＝i′＝，得

α≈32°，β≈21°.

答：铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和21°.

三、课堂小结

师：本节课，我们学习了什么内容？

学生回答．

师：你们还有什么不懂的地方吗？

学生提问，教师解答．