初中数学华师大版七年级上册第2章 有理数综合与测试精练

第2章 有理数

一、单选题

1．﹣2022的相反数是（   ）

A．﹣2022 B．2022 C．﹣ D．

2．在2，－4，－3，5中，任选两个数的积最小的是（　　）

A．－12 B．－15 C．－20 D．－6

3．如果，，，那么这四个数中负数有（     ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个或3个

4．下列说法中，正确的个数有(　　)

①－3.14既是负数，又是小数，也是有理数；②－25既是负数，又是整数，但不是自然数；

③0既不是正数也不是负数，但是整数；④0是非负数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，分数的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（     ）

A．3 B．4 C．6 D．9

7．的相反数是（     ）

A． B． C． D．

8．比0小1的数是（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．±1

9．计算的结果是（       ）

A． B． C． D．

10．点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（       ）

A．或1 B．或2 C． D．1

二、填空题

11．在，0，11，，，中，负分数有个______个．

12．在数轴上，点（表示整数）在原点的左侧，点（表示整数）在原点的右侧．若，且，则的值为_________

13．数轴上一点A，在原点左侧，离开原点6个单位长度，点A表示的数是______．

14．比－2.5大，比小的所有整数有______

15．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点数）：

如果北京时间是下午3点，那么伦敦的当地时间是 ___．

16．东京与北京的时差为，伯伯在北京乘坐早晨的航班飞行约到达东京，那么李伯伯到达东京的时间是____．（注：正数表示同一时刻比北京时间早的时数）

17．到2035年的时候，中国人均GDP有望比2020年翻一番，达到人均23000美元，将数字23000用科学记数法表示为 _____．

三、解答题

18．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方.

如：2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)等. 类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”. (-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)记作(-3)④，读作“-3 的圈 4 次方”.

一般地，把（a≠0）记作，记作“a 的圈 n 次方”.

(1)直接写出计算结果：2③=         ，(-3)⑤ =             ， ⑤=            

(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，

请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于       .

(3)计算 24÷23+ (-8)×2③.

19．一只乌龟沿南北方向的河岸来回爬行，假定向北爬行的路程记为正数，向南爬行的路程记为负数，它爬行的过程记录如下（单位m）：－8，7，－3，9，－6，-4，10

（1）乌龟最后距离出发点多远，在出发点的南边还是北边；   

（2）求乌龟在整个过程中一共爬行了多远的距离．

20．请你仔细阅读下列材料，计算：

阅读下列材料：计算．

解法一：原式=        

解法二：原式=

解法三：原式的倒数为

上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　       是错误的．

请你选择合适的解法解答下列问题：计算：

21．阅读计算过程：

解：原式＝①

＝②

＝③

＝

回答下列问题：

（1）步骤①错在 　 　；

（2）步骤①到步骤②错在 　 　；

（3）步骤②到步骤③错在 　 　；

（4）此题的正确结果是 　 　．

22．计算

(1)

(2)

23．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的

距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．

从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．

根据以上阅读材料探索下列问题：

(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是     ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是     ；（直接写出最终结果）

(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为     ；

②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为     ．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

根据相反数的定义判断即可．

【详解】

解：﹣2022的相反数是2022，

∴B正确．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

由于负数比正数小，则计算-4×5=-20，-3×5=-15，-4×2=-8，-3×2=-6，而|-20|=20，|-15|=15，|-8|=8，|-6|=6，于是得到-20＜-15＜-8＜-6．

【详解】

∵−4×5=−20，−3×5=−15，−4×2=−8，−3×2=−6，

而|−20|=20，|−15|=15，|−8|=8，|−6|=6，

∴−20<−15<−8<−6，

故选C.

【点睛】

此题考查有理数大小比较，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则.

3．D

【解析】

【分析】

根据几个不为零的有理数相乘，负因数的个数是奇数个时积是负数，可得答案．

【详解】

由abcd<0，a+b=0，cd>0，得a,b一个正数，一个是负数，

c,d同正或同负，这四个数中的负因数有1个或三个，

故选D.

【点睛】

此题考查有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则

4．D

【解析】

【分析】

根据有理数的分类逐一进行判断即可得．

【详解】

①－3.14既是负数，又是小数，也是有理数，正确；

②－25既是负数，又是整数，但不是自然数，正确；

③0既不是正数也不是负数，但是整数，正确；

④0是非负数，正确，

所以正确的有4个，

故选D．

【点睛】

本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数不同的分类标准是解题的关键．

5．C

【解析】

【分析】

根据整数和分数统称为有理数，即可解答．

【详解】

解：下列各数，﹣6，25，0，3.14，20%中，

是分数的有：，3.14，20%，

所以，共有3个分数，

故选：C．

【点睛】

本题考查有理数的分类，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．

6．A

【解析】

【分析】

首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．

【详解】

第1次输出的结果为：15+3＝18，

第2次输出的结果为：×18＝9，

第3次输出的结果为：9+3＝12，

第4次输出的结果为：×12＝6，

第5次输出的结果为：×6＝3，

第6次输出的结果为：3+3＝6，

第7次输出的结果为：×6＝3，

第8次输出的结果为：3+3＝6，

第9次输出的结果为：×6＝3，

…，

从第4次开始，以6，3依次循环，

并且第n次(n＞3)时，

如果n-3为偶数，则输出结果为3，

如果n-3为奇数，则输出结果为6，

∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，

∴第2021次输出的结果为3．

故选：A．

【点睛】

此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．

7．A

【解析】

【分析】

根据相反数的意义，可得答案；

【详解】

的相反数是

故选A

【点睛】

本题考查了求一个数的相反数，关键是掌握相反数的定义.

8．B

【解析】

【分析】

根据题意列式计算即可得出结果．

【详解】

解：0﹣1=﹣1，

即比0小1的数是﹣1．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．

9．C

【解析】

【分析】

根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．

【详解】

解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．

故选：C．

【点睛】

本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．

10．A

【解析】

【分析】

根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．

【详解】

解：由题意得：|2a+1|=3

当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1

当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2

所以a的值为1或-2．

故答案为A．

【点睛】

本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．

11．2

【解析】

【分析】

根据小于0的数是负数，有限小数属于分数即可求解．

【详解】

解：+3.5是正分数，0，11，-2都是整数，，是负分数，

故负分数有2个，

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了负分数的识别，熟记概念是解题的关键，注意0既不是正数也不是负数．

12．-673

【解析】

【分析】

根据题意可得a是负数，b是正数，据此求出b-a=2019，根据可得a=-2b，代入b-a=2019即可求得a、b的值，代入求解即可．

【详解】

根据题意可得：a是负数，b是正数，b-a＞0

∵

∴b-a=2019

∵

∴a=-2b

∴b+2b=2019

b=673，a=-1346

∴a+b=-673

故答案为：-673

【点睛】

本题考查的是求代数式的值，能根据点在数轴上的位置及绝对值的性质求出a、b的值是关键．

13．-6

【解析】

【分析】

根据离开原点6个单位的点有两个，再根据在原点左侧，可得答案.

【详解】

A在原点左侧且离开原点6个单位长度的点表示的数是-6.

故答案为-6.

【点睛】

本题考查了数轴，到原点距离相等的点有两个，注意一个点在原点的左侧，只有一个数．

14．－2，－1，0，1，2，3，4

【解析】

【分析】

根据整数的定义结合已知得出符合题意的答案．

【详解】

比﹣2.5大，比小的所有整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．

故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．

【点睛】

本题考查了有理数大小比较的方法，正确把握整数的定义是解答本题的关键．

15．上午7时

【解析】

【分析】

根据带正号的数表示同一时刻比北京早的点数可得正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数．

【详解】

解：12+3﹣8＝7，

故如果北京时间是下午3点，那么伦敦的当地时间是上午7时．

故答案为：上午7时．

【点睛】

主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的加减法计算．这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义．

16．时

【解析】

【分析】

根据题意，9点先加上3个小时，再加上时差的1个小时，得到达到东京的时间．

【详解】

由题意得，

李伯伯到达东京是下午时．

故答案是：13时．

【点睛】

本题考查有理数加法的实际应用，解题的关键是掌握有理数加法运算法则．

17．

【解析】

【分析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．

【详解】

解：．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查了用科学记数法表示数，熟练掌握科学记数法的相关知识是解答此题的关键．

18．（1），，-8；（2）它的倒数的n-2次方；（3）－1.

【解析】

【分析】

（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；

（2）归纳总结得到规律即可；

（3）利用得出的结论计算即可得到结果．

【详解】

（1）2③=2÷2÷2=，

(-3)⑤ =(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=，

⑤=÷÷÷÷=-8，

故答案为，，﹣8；

（2）===，

故答案为这个数倒数的（n﹣2）次方；

（3）24÷23+（﹣8）×2③

=24÷8+（﹣8）×

=3+（﹣4）

=﹣1．

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（1）距离出发点5米，在出发点的北边；（2）47米

【解析】

【分析】

（1）把记录到的所有数字相加，即可求解；

（2）把记录到的所有的数字的绝对值相加，即可求解．

【详解】

解：（1）-8+7-3+9-6-4+10=5，

∴乌龟最后距离出发点5米，在出发点的北边；

（2）8+7+3+9+6+4+10=47（米），

∴乌龟在整个过程中一共爬行了47米．

【点睛】

此题主要考查正负数在实际生活中的应用，掌握有理数的加减运算是解答此题的关键．

20．一；

【解析】

【分析】

分别计算出三种方法所得到的结果，与其它两个不同的就是错误的；根据乘法分配律，求出的倒数是多少，即可求出原式算式的值是多少．

【详解】

解：解法一：原式，

解法二：原式，

解法三：原式的倒数为

，

∴；

上述得到的结果不同，所以我认为解法一是错误的；

故答案为一；

的倒数为

；

∴．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意有理数混合运算顺序．

21．（1）去括号；（2）乘方运算；（3）运算时符号错误；（4）

【解析】

【分析】

根据有理数的运算法则可直接进行求解（1）（2）（3）（4）．

【详解】

解：（1）步骤①错在去括号；

（2）步骤①到步骤②错在乘方运算；

（3）步骤②到步骤③错在运算时符号错误；

（4）

=

=

=

=

=．

【点睛】

本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键．

22．(1)－7

(2)

【解析】

(1)

解：

．

(2)

解：

．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

23．(1)6，7；

(2)①－6或2；②4

【解析】

【分析】

（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；

（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．

(1)

解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，

故答案为：6，7；

(2)

解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，

∴｜x+2｜=4，

∴x+2=－4或x+2=4，

解得：x=－6或x=2，

故答案为：－6或2；

②∵表示x到－1和3的距离之和，

∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查数轴上两点之间的距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．