湘教版2.1 一元二次方程教案设计

2.1 一元二次方程

教学目标

【知识与能力】

1、整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；

2、知道一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )，能熟练的把一元二次方程整理成一般形式；

3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。

【过程与方法】

从实际问题中抽象出一元二次方程的概念，经历探索、分析的过程，体会一元二次方程的特征，树立数学建模思想。

【情感态度价值观】

1、体会数学与现实生活的密切联系。

2、学会与他人交流合作，提高数学的学习兴趣。

教学重难点

【教学重点】

实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。

【教学难点】

将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结。

课前准备

无

教学过程

一、预学：

提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：

(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长。

(2)一个数比另一个数小，且两数之积为0，求这个数。

(3)一个数的平方的－倍与－2的和等于2，求这个数。

(4)一个矩形的长比宽多5 cm，面积为150 cm2，求这个矩形的宽。

设所求的量或数为 x ，可得如下方程：

(1)  2x2 = 31                       (2)  x ( x +) = 0

(3)  －x2 －2 = 2                (4)  x ( x + 5 ) = 150

然后将上述方程改写成：

(1)  2x2－31 = 0                    (2)  x2 + x = 0

(3)  － x2 －4 = 0                (4)  x2 + 5x－150 = 0

什么叫整式方程？怎样的方程叫一元一次方程？试举例说明。

( 方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫作一元一次方程)

二、探究：

问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？

    ( 学生分组讨论，然后各组交流 )

(1) 都是整式方程    (2) 只含有一个未知数    (3) 未知数的最高次数是2

从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式：

       aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )

问题2  下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

(1) 3x + 2 = 5x－3                 (2) x2 = 4

(3) ( x－1 )( x－2 ) = x2+ 8            (4) ( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2

(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程)

说明：通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。

问题3  为什么在一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0中，二次项系数不为0呢？

说明：方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件。如果所研究的问题中，明确指出方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0。若没有特别说明，方程aX2 + bX + c = 0既可能是一元二次方程( 当a≠0时) ，也有可能是一元一次方程( 当a = 0且b≠0时)。

三、精讲

例题解析：

例1  把方程( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

解：  2x2 + x－16 = 0

二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是－16。

一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

例2  当 a、b、c 满足什么条件时，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？当a、b、c 满足什么条件时，方程 (a－1)x2 + bx + c = 0 是一元一次方程？

本题供学有余力的同学讨论。当a = 1时是一元二次方程；当a=1，b≠0时是一元一次方程；

四、提升：

1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”，

2、一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

五、作业：

课本第5页练习第3 题