重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展

题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题

一、单选题
1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（       ）
A．1 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，设，入射角和反射角相等得，
利用中位线可得，再根据，可得答案，
【详解】设过点的切线为，分别做于点，
做交轴于点，所得是的中位线，
设，入射角和反射角相等，则，
则
，
因为，当为上顶点时，为，
因为，，所以，
即，，
，
故选：C.

2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求和的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.
【详解】因为，且，所以，，
，，则等腰三角形底边上的高，
所以,
设的内切圆半径为，则，
所以.
故选：B
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（       ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
【答案】AB
【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.
【详解】由椭圆的定义知，，设，则，
则，，而，即有，解得，
又的周长为20，则有，解得，，
因为，即，解得，则，
椭圆C的方程为，显然，即点在椭圆上，
所以经过点的直线与椭圆C相交或相切.
故选：AB
4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
【答案】AC
【分析】解方程组求出即可选项AB的真假，再利用通径公式判断选项C的真假，再利用椭圆的定义判断选项D的真假.
【详解】解：由题意得：，所以，因为，故，因为焦点，在y轴上，所以椭圆C的方程为，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得，，所以选项C正确；
的周长为，所以选项D错误.
故选：AC．
5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（       ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
【答案】BD
【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.
【详解】将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，

等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．椭圆离心率为 D．面积最大值为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义得到，进而判断当轴时，最小，此时最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.
【详解】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：

将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确；
对D，设，，代入椭圆方程得：，则，
所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题答案D的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到；在处理最好采用换元法，这样可以简化运算.
三、填空题
7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为________．
【答案】
【分析】根据椭圆定义可得，结合内切圆半径，显然当为短轴顶点时最大，即内切圆半径的最大，此时，代入求解．
【详解】∵，则
∴的周长
∵内切圆半径，则内切圆半径的最大即为最大
显然当为短轴顶点时最大，此时
则
故答案为：．
8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.
【答案】
【分析】由题意列方程组解出点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径
【详解】由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）.
设点P的坐标为（，），则，
，即①，
∵第一象限点P在C上，
∴则，即②，
联立解得
由椭圆的定义得
设的内切圆半径为r，则
又∵，
∴，即.
故答案为：
四、解答题
9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E：的离心率为，，为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，B两点），且的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求，进而求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，利用弦长公式求出，再利用两直线垂直斜率乘积为，得出直线，求出，进而得到的函数表达式，求其取值范围即可.
(1)依题意知，即，
又的周长为8，即，
因此椭圆的方程为．
(2)当时，点为点，不符合题意，舍去；
设直线l的方程为，且，，
联立，消去y可得，
则，，
所以．
设直线OP的方程为，
联立 解得或
不妨设，
所以．
故，令，，
则，
令，，
开口向上，对称轴
在上单调递增，
．
【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为，本题三角形周长可转化成除去边的两个焦点三角形的其余边长之和；
（2）设出直线的方程时应注意；
（3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；
（4）两直线垂直斜率乘积为，几何关系应牢记；
（5）表示出后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围；
10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆：，，分别为椭圆的左､右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由的周长求出，再由焦距求得，进而求出，即得椭圆的方程；
（2）设出直线的方程联立椭圆方程求得，表示出直线的方程求出，由表示出面积，结合基本不等式求最大值即可.
(1)的周长为，由椭圆定义得，即.又焦距，得，
则，所以椭圆的方程为；
(2)设直线的方程为，联立得，设，
则，点，直线的方程为，
令得，即，又，
，
当且仅当时即时等号成立，所以四边形面积的最大值为.
11．（2022·天津三中二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，设直线与椭圆的另一个交点为H，连接得到直线，交x轴于点M，交y轴于点N，记、的面积分别为，，求的最小值.
【答案】(1)；(2)4.
【分析】（1）利用椭圆的定义可得，结合条件即得；
（2）设直线的方程为，，，，利用点差法可得，进而可得直线的方程可设为，然后表示出，，再利用基本不等式即得.
(1)由题知椭圆的离心率，且的周长为8，
所以，,
所以，
故椭圆的标准方程为；
(2)令直线的方程为，，，，由轴，则，
∴，，则，
由将点E，H代入椭圆的方程可得：，
两式作差可得：，
所以，
由，
所以，
所以直线的方程可设为，
令时，，
令时，，
则的面积为，
的面积为，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆的右焦点为，，为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线经过，交椭圆于点，，直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点，，，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，周长取最大值时，线段过点，可求出，从而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线，直线，，，，.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出和，根据求出的值.最后直线与直线的方程联立，求两直线的交点即得结论.
【详解】（Ⅰ）设的周长为，
则
，当且仅当线段过点时“”成立.
，，又，，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.
设，，，，，.
将直线的方程代入椭圆方程得：.
，,
.
同理，.
由得，此时.
直线，
联立直线与直线的方程得，
即点在定直线.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.
题型二：待定系数法求椭圆方程
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上项点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（       ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出长轴长.
【详解】椭圆的面积，即①.
因为点P为椭圆C的上项点，所以.
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
①②联立解得：.
所以椭圆C的长轴长为2a=6.
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，易得，代入椭圆方程可得，又，两式相结合即可求解
【详解】

不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，
则为的中点，为中点，所以，所以，则
即，所以，，
将点坐标代入椭圆方程得，即，
又，所以，，
所以椭圆的标准方程是.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；
设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，
两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.
故选：D.
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x＝my－1经过椭圆C：的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（       ）
A．椭圆C的短轴长为
B．弦的最小值为3
C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点
D．若，则
【答案】BCD
【分析】由于直线x＝my－1经过定点，则由题意得，再由离心率为可求出，从而可求出，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可
【详解】依题意可知，直线x＝my－1经过定点，所以．又椭圆C的离心率为，所以a＝2，则，所以椭圆C的短轴长为，所以A选项不正确；
当m＝0时，弦AB即为椭圆的一条通径，且，所以B选项正确；
椭圆C的长轴长为2a＝4，所以，当最短时，此时点在以AB为直径的圆外，当趋近于4时，点在以AB为直径的圆内，因此，存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点，所以C选项正确；
由，得，设，，则，
联立整理得，
恒成立，则，．
因为，所以解得，所以D选项正确．
故选：BCD．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆的左､右焦点分别为F1､F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆C的焦距为2 B．三角形MF1F2面积的最大值为
C． D．圆G在椭圆C的内部
【答案】ABCD
【分析】先根据已知条件，解出椭圆C的标准方程，再逐个验证各个选项即可.
【详解】△中，原点O为边中点，|OP|=|OF1|=|OF2|，则，

设，，则，
△中，,
则有，解之得
故△为等腰直角三角形：，，
故，则
又，故.
椭圆的方程为
选项A：椭圆C的焦距为是2，正确；
选项B：圆的半径为
△MF1F2面积的最大值为，正确；
选项C：，正确；
选项D：圆圆心在原点，半径，故圆G在椭圆C的内部，正确.
故选：ABCD
6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆：与半椭圆：组成，其中，，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是轴截面与，轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界，，在宝珠珠面上，若，则以下命题中正确的是（       ）

A．椭圆的离心率是 B．椭圆上的点到点的距离的最小值为
C．椭圆的焦距为4 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
【答案】BC
【分析】据题意可知，为正三角形，结合曲线可求出、的方程，然后逐项验证即可.
【详解】，是半椭圆：的焦点，，关于原点对称，且,
又，为正三角形，,
，在上, ,.
又半椭圆：的短轴与半椭圆：的长轴相等，即，
对于半椭圆：，，
对于半椭圆：，，
，，，，，，
半椭圆的方程为：，半椭圆的方程为：
对于A选项：椭圆的离心率为：，故A选项不正确；
对于B选项：椭圆上的点到距离为的最小值为：，故B选项正确；
对于C选项：椭圆的焦距为，故C选项正确；
对于D选项：椭圆的长短轴之比为，椭圆的长短轴之比为，
，，
椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比，故D选项错误；
故选：BC
三、解答题
7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
【答案】(1)(2)2
【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出，再表达出直线PQ的方程，表达出，用基本不等式求解最小值，与比较大小，求出最小值.
(1)由题意得：，解得：，
所以椭圆方程为
(2)由（1）知：，
当直线的斜率不存在时，，，，
此时，
当直线的斜率存在时，故可设直线为，
联立椭圆方程得：，
设，则，
其中
所以，
其中，
所以，
因为直线PQ为线段MN的垂直平分线，
所以直线PQ：，
令得：，
所以，
故，
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
因为，所以的最小值为2.
【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.
8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆的焦距为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点，点是椭圆上在第一象限的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与的面积分别为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；
（2）设，利用点斜式求出直线和的方程，求出的坐标，根据题意求出，由此可知，再根据在椭圆上，可知，由此可得，再利用基本不等式即可求出的最小值，进而求出的范围.
(2)解：设椭圆的焦距为
由题意可知:，解得，所以；
(2)设，
由题意可知，
所以直线方程为，直线方程为；
令代入直线方程，可得，
令代入直线方程，可得，
所以
所以
又，所以，




又，所以，当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
所以，即的取值范围.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对变形成和，然后再对化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.
9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知是椭圆的左､右焦点，是的上顶点.到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点与交于点，直线与分别交于两点，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b，继而求得a，可得答案.
（2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论.
(1)由题意知， ，
是的上顶点，点的坐标为.
点的坐标为直线的方程为，即，
到直线的距离为，
，
所以的方程为.
(2)证明：直线与轴的交点为，
设，
设直线，
则，
联立直线和曲线的方程，得方程组 ，
消去得
则.
同理.
三点共线，，
得，

同理.




.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.
10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C：的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与A点关于直线l：对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直线EF恒过定点.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出，设，利用向量数量积求出，将代入椭圆中，求出，得到椭圆方程；（2）先根据得到，进而设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，利用及求出，得到定点坐标.
(1)点O与A关于直线对称，
可知，故点，，
由题意可设，，
于是，解得：，
将代入椭圆方程中，，解得：，
所以椭圆方程为
(2)证明：，，直线l：，
由题意得：圆心在直线l：上，设，
且，
所以，故，
则，
设直线EF：，，
由，得：，
则，
，，
所以，
则
，
即，解得：（舍去）或，
所以直线EF为：，恒过定点
【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值.
题型三：直接法解决离心率问题
一、单选题
1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，，，设内切圆的半径为，根据等面积法得到，即可得到的最大值，从而求出，即可求出椭圆的离心率；
【详解】解：由椭圆，可得，，，则，
如图，

设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出临界情况下，椭圆，，即可求出椭圆离心率的取值范围.
【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，

设，.
因为圆柱底面积为，故液体体积为
，解得，即，
，故，所以，，
即，所以离心率，即椭圆离心率的取值范围是.
故选：
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】A：根据椭圆方程可直接求得，，，和离心率；B：由椭圆的定义可得，结合不等式代入运算；C：点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大，计算判断；D：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题
4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆和在相同的焦点，，离心率分别为，B为椭圆的上顶点，，且垂足P在椭圆上，则的最大值是___________.

【答案】
【分析】首先分别表示出，设，将表示成关于的三角函数，然后求其最值即可.
【详解】由图知，则，
设，则，
则，当且仅当时等号可取到.
故答案为：.
5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之积为_____.

【答案】2
【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出，，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.
【详解】解：连接，根据椭圆的对称性可知：点是的中点，
所以，四边形为平行四边形，
若，所以，
因为，所以，所以是等边三角形，
所以，，，
所以，四边形为矩形，
所以，在直角三角形中，，
所以，，
在椭圆中，，可得
在双曲线中，，可得
所以离心率之积，
故答案为：.

四、解答题
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为且过点的直线与轴交于点
(1)证明：直线与椭圆相切
(2)记在（1）中的切点为，过点且与垂直的直线交轴于点，记的面积为的面积为，若，求椭圆的离心率
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可.
(1)由已知，．
令与椭圆方程联立，经过整理，得到，所以
，所以直线与椭圆相切．
(2)由（1），有，所以，所以，所以．
因为，所以，所以．令，得到，所以．
因为，所以，所以，所以，所以，所以．
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.
7．（2022·安徽安庆·二模（理））已知曲线，其离心率为，焦点在x轴上.
(1)求t的值；
(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.
【答案】(1)2(2)证明见解析
【分析】（1）根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆，从而确定 ，结合离心率求得答案;
（2）设点M.N的坐标，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示直线的方程，求得点G坐标，从而表示出直线和直线的斜率，然后结合根与系数的关系式，化简，证明二者相等，即可证明结论.
(1)由曲线，其离心率为，焦点在x轴上.可知，
曲线是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，
所以必须满足：，解得，
因的离心率为，，即 ，故，
解得.
(2)由（1）可知的方程为，所以，.
把代入，整理得，
设，，
则，，
因为点，所以直线的方程为：.
令，得，所以.
因为点，所以直线的斜率为，
直线的斜率为.
所以
.
其中


，
当时，上式等于0，即，这说明，，三点共线.
【点睛】本题考查了根据曲线表示椭圆求参数的值，以及直线和椭圆的位置关系等问题，其中证明三点共线是难点，解答时要注意解答思路要清晰明确，即将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系去表示或化简相关的代数式，解答的关键是证明有公共点的两直线斜率相等，其中的计算量较大，并且比较繁杂，要细心.
题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
一、单选题
1．（2022·广东·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.
【详解】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出直线为线段的垂直平分线，得到.利用椭圆的定义把，， ，用a、c表示，利用勾股定理得到a、c的齐次式，求出离心率.
【详解】因为且，所以直线为线段的垂直平分线，所以.
由椭圆定义知，所以，所以，.
在中，，在中，，所以，即，化简得，即，即，
解得椭圆C的离心率（舍去）.
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理确定的边角关系，结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值.
【详解】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
4．（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M于A，B，C，D四点，且，则M的离心率为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，利用勾股定理可得答案.
【详解】设，则，由椭圆定义得，由椭圆的对称性可知，连接，则．又，
所以，在中，，
所以，解得，
所以，中，，
所以，得，所以M的离心率，
故选：D.

5．（2022·辽宁·育明高中一模）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出外层椭圆方程，利用离心率表达出内层椭圆方程，设出直线方程，联立后由根的判别式得到与，利用斜率乘积列出方程，求出，从而求出离心率.
【详解】设外层椭圆方程为，则内层椭圆方程为，
设过点的切线方程为，
与联立得：，
由得：，
设过点的切线方程为，
与联立得：，
由得：，
从而，
故，
椭圆的离心率为.
故选：C.
二、填空题
6．（2022·河南焦作·三模（文））已知椭圆的右焦点为F，直线与C交于A，B两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可以解得，，再根据得，结合求解．
【详解】设，将代入椭圆方程得，不妨设，，

因为以为直径的圆经过点F，所
即，整理得，
∵，所以，得.
故答案为：．
7．（2022·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E：上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
【答案】
【分析】画出图形，先求出，由建立方程解出离心率即可.
【详解】

如图：不妨设经过右焦点，由对称性可得经过另一个焦点，则，又由，解得，
则，则，即，整理得，解得，又离心率，则离心率为.
故答案为：.
8．（2022·江西·模拟预测（理））如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．

【答案】
【分析】设，根据椭圆定义、对称性得到、、、，再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】设，则，故．
由椭圆的对称性知：，连接，则．
又，，所以，

在Rt中，即，解得，则，．
在中，即＋，得，
所以M的离心率．
故答案为：
三、解答题
9．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，以及，建立关于的方程，即可得到结果；
（2）设，由（1）可知，可设椭圆方程为，根据，可得，设将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点满足椭圆方程，可求出，进而求出结果.
(1)解：因为，所以，即，
则，解得．
(2)解：设，
由，得，所以，所以
设，即
由于在椭圆上，则，，①
由，得，即
由在椭圆上，则,
即，
即，②
将①代入②得：，③
线段的中点为，设
可知

，
所以，其中，解得，
所以，方程为
又，④
将④代入③得：，
经检验满足，
所以椭圆的方程为.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：，，分别为C的左､右焦点，过作直线l与C交于A，B两点，满足，且.设e为C的离心率.
(1)求；
(2)若，且，过点P（4，1）的直线与C交于E，F两点，上存在一点T使.求的轨迹方程.
【答案】(1)或(2)或.
【分析】（1）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理结合三角形面积得出关于离心率的关系即可求出；
（2）设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理结合已知表示出点坐标即可求出.
(1)由题直线斜率存在且不为0，设，，
联立方程组得，
则，
消去，得，不妨设，
则，
整理可得，解得或或（舍）.
(2)由题知，
若斜率不存在，则与无交点，不合题意；
若斜率存在，设，与联立，
得，
设，则，
由得，
设，由题，即，
则可得，
若，则，消去得，
若，则，消去得，
综上，的轨迹方程为或.
11．（2022·全国·高三专题练习）F1、F2是椭圆 的左、右焦点，过点F2作直线 交椭圆于两点， 现将椭圆所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角， 翻折后两点的对应点分别为，，且，
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，为椭圆的上顶点，且直线与直线交于点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】由已知可得，再由双曲线定义有，然后分别在，中由余弦定理求出，从而可求得，进而得关于离心率的方程，求解即可得答案；
（2）设点的坐标为，，点的坐标为，，由已知求出与的关系，然后将与椭圆方程和直线方程联立求出与即可求解.
【详解】解：（1）解：，
，
为二面角的平面角，即，
在中，，
在中，，
，
，解得；

（2）由（1）知，，椭圆，所以,
设点的坐标为，，点的坐标为，，由已知；
,
，即
，
由消去，得，
由（1）知直线的方程为，
由消去，得；
，
，即，
又，所以．
【点睛】关键点点睛：（1）问的关键是在，中由余弦定理求出，从而可求得；（2）问的关键是根据几何知识将转化为.
题型五：利用自变量范围求离心率范围
一、单选题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C．     D．
【答案】C
【分析】由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率的范围，即可得到结果．
【详解】因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得，
所以，

设下焦点，连接，，又因为，即 且互相平分，
可得四边形为矩形，
即有，
在中，，
，
由椭圆的定义可得，
所以，
所以离心率，
因为，，所以，，
所以，,
所以，
故选：C．
2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答本题．
【详解】由题意得，2
．
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点关于直线l：的对称点为．
则，解得，．
则．
．
当时，椭圆有最大离心率．
此时，．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围．
【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，消去整理得：
，解得(舍去)或，
同得，所以，即，
若，则，又，消去整理得：
，解得或，
舍去．
所以，所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
故选：D．
二、多选题
4．（2022·江苏南通·高三期末）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆的内部，点在椭圆上，则（       ）
A． B．椭圆的离心率的取值范围为
C．存在点使得 D．
【答案】ACD
【分析】利用点在椭圆的内部可求得的取值范围，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求出点的轨迹方程，判断点的轨迹与椭圆的公共点，可判断C选项；利用两点间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由已知可得，可得，则，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B错；
对于C选项，设、分别为椭圆的左、右焦点，则、，
记，设点，，，
因为，则，
所以，点在圆上，联立可得，
即圆与椭圆有公共点，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是___________.
【答案】
【分析】设点，利用条件可知得到关于的方程，再联立，用含的式子表示出，再利用的取值范围，即得出离心率的范围.
【详解】设点，则，又点，

∴，又以为直径的圆过原点，则有,
所以，即，
∴，又，
所以，得，
∴，整理得：，
解得，又，
所以.
故答案为：.
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.
【答案】；
【分析】设为椭圆的另一焦点，根据椭圆和直线的对称性可得出四边形为平行四边形，从而得到；然后在中，利用余弦定理及基本不等式即可求出的取值范围.
【详解】设为椭圆的另一焦点，如图，连接，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形，
又因为，所以.
在中，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即，
又因为，所以，
又因为，故.
故答案为：.

7．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据长轴长为4，可求出；根据点在椭圆内部，可求出；再结合，可求出，然后根据离心率公式即可求出椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由题意可知，，所以椭圆的标准方程为，
因为点在椭圆内部，所以，可得，
又，所以，
所以，所以椭圆C的离心率的取值范围是.
故答案为：.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可.
【详解】

∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即

又∵，
∴四边形为矩形
∴
则

在中，
∵，∴
∵     ∴
∵A在第一象限，∴
∴
∴
令，则有


，即
故答案为：
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
四、解答题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右两焦点分别为，，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，．
(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2)若点到直线的距离不小于，求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合椭圆的定义以及离心率的公式即可得到方程组，解之即可求出结果；
（2）结合点到直线的距离公式即可得到，从而求出的范围，进而可求出结果.
(1)由题意及椭圆的定义，得，∴．
又，，
∴，．
故椭圆的标准方程为．
(2)设，可得点到直线的距离为，由题意知，故，从而．
∵，∴，即，∴，
即椭圆的离心率的取值范围是．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的长半轴长为．
(1)若椭圆经过点，求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由椭圆的长轴长、所过的点坐标求椭圆参数，进而写出椭圆方程.
（2）设，由题设可得、，根据已知条件及两点距离公式得，联立方程求参数b的范围，利用椭圆参数关系求离心率的取值范围．
(1)由题意可得：，又椭圆过，
∴，解得．故椭圆的方程为．
(2)由（1）知：，设，则．①
由，则，
∴，即．②
联立①②，解得．
由，即，故，解得，
于是，即，即，即．
故椭圆的离心率的取值范围是．