（人教A版2019选择性必修第一册）专题14 圆锥曲线常考题型02——圆锥曲线中的范围、最值问题

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专题14  圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值，以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些问题．对于最值问题，一般可以用数形结合的方法或转化为函数的最值问题加以解决；解决最值范围问题时，应重视曲线的定义、曲线的几何特征、方程的代数特征在解题中的作用 题型一  转化为斜率由代数式的结构特征联想县其斜率公式，将代数问题转化为斜率问题，利用图形的直见性使问题得到简化．1．试求函数的最大值、最小值．【解答】解：设，是椭圆的两条切线，如图所示，点坐标为,由椭圆的参数方程可得故的最大值为，的最小值为，设过与椭圆相切的切线方程为．由，消去，得，由△得，所以切线方程为，因为切线过点，所以．所以，所以的最大值的最小值为． 题型二  转化为截距利用直线在y轴上的截距的直观性，可求有关参数的取值范围，进而得到最值．2．已知，满足，则的最大值为 　13　，最小值为 　　．【解答】解：将所给的函数式改写为，则表示直线在轴上的截距，，满足，可行域为椭圆的边界及其内部，画出图形，如图所示，由图可知，的最大值，最小值在直线与椭圆相切时取得，联立方程，消去得：，由△得：，解得，的最大值为13，最小值为，故答案为：13，． 题型三  转化为三角函数利用椭圆的参数方程(θ为参数)以及双曲线的参数方程(θ为参数)等，将椭圆和双曲线上的点的坐标用三角函数表示出来，再利用三角函数知识来求其最值．3．设、分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在上，则点到直线的距离的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：椭圆的焦点在轴上，，，可得，．椭圆的左顶点为，上顶点为，则所在直线方程为，即．在椭圆上，设，到直线的距离，点到直线的距离的最大值为．故选：． 4．过点作椭圆的弦，求这些弦长的最大值.【解答】设椭圆上任意一点M的坐标为 则因为a>b>0，所以①当，即时，取得②当，即时，取得 题型四  利用基本不等式5．函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为　　A．6 B．4 C．2 D．1【解答】解：由题意可知，函数的图象恒过定点，又点在双曲线上，，，当且仅当时，即，时，等号成立．故选：．6．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为　　A．72 B．36 C．18 D．9【解答】解：双曲线的渐近线方程为，的焦距为12，，即，，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，不妨取，，面积，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为18．故选：．7．设为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的取值范围为　　A．， B． C． D．，【解答】解：设点的坐标为，，很明显直线的斜率为正数，则：，当且仅当 时等号成立即直线的斜率的取值范围为，．故选：．8．椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任一点，且最大值取值范围为，（其中，则椭圆的离心率的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意的定义可得：，再由均值不等式可得：，的最大值为，由题意可得可得，解得，故选：．9．已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　A．12 B．10 C．9 D．8【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，，可得它的图象恒过定点．因为点在椭圆，，上，则，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故选：．10．抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，为上的动点．则的最小值为　　A．1 B． C． D．【解答】解：由题意可得焦点，准线，过点作准线，所以，因为，所以，求的最小值等价于求的最大值，设，，所以，，所以，．当时，最小值为，所以最小值为．故选：． 题型五  构造二次函数利用解析几何中的代数和识，把问题转化为关于某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识来求最值．11．抛物线上的点到直线距离的最小值是　　A．3 B． C． D．【解答】解：因为点在抛物线上，设，则点到直线的距离，当时，．故选：．12．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　A．2 B． C． D．【解答】解：设圆的圆心为，则，设，则，椭圆，，，，，令，求导，解得，在，单调递减，单调递增，在时最小，即最小值为，，．故选：．13．已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若直线，分别交直线于，两点，则的最小值　　A． B． C． D．【解答】设的方程为代入，得，所以，，，联立；同理可得，所以，令，，，当时，，当时，，故最小值为，故选：．14．已知直线与抛物线交于，两点（点在第一象限，点在第四象限），与轴交于点，若线段的中点的横坐标为3，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：设，，，，直线方程为．联立，消去，得，所以．所以，因为、中点横坐标为3，所以，故，又，所以的取值范围，．故选：．15．为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为　　A．3 B．4 C．5 D．9【解答】解：设，且，则，设直线的方程为，整理可得：，解得，设，，，，则，，，因为，所以，所以可得，当直线的斜率为0时，则设，，这时，，，与上面类似，综上所述：，故选：．16．在过动直线（其中与定直线的交点的等轴双曲线系：中，当取何值时，达到最大值与最小值？【解答】解：由得交点，交点坐标代入双曲线，，，，当，又因为，，所以，所以；当时，，故，达到最大值，时，达到最小值．17．已知抛物线，为轴负半轴上的动点，，为抛物线的切线，，分别为切点，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：设切线的方程为，代入抛物线方程得，由直线与抛物线相切可得△，则，，，，将点的坐标代入，得，，，，，，则当，即时，的最小值为故选：． 题型六  利用几何图形的性质18．已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，点是含抛物线顶点的弧上一点，求的最大面积．【解答】解：设，，，，所在的直线方程为，将其代入抛物线，得，，，当过的直线平行于且与抛物线相切时的面积有最大值．设直线方程为，代入抛物线方程得，由△，得，这时，它到的距离为，的最大面积为．19．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为　　A． B． C． D．【解答】解：设，，，，由平行四边形对角线互相平分可得与，与关于原点对称，所以可得，，所以，将，的坐标代入可得相减可得，可得，由题意可得：，即，可得：，解得：，，故选：．20．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：代数式可化为，表示点到点的距离与点到点的距离之差，又双曲线的左右焦点左右焦点分别为，，根据双曲线定义可得，，是双曲线的右支上的点，，故选：．21．已知点是抛物线上的一个动点，点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为　　A．1 B． C．2 D．【解答】解：抛物线，抛物线的焦点坐标．依题点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值，就是到与到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点到点的距离与到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，可得：．故选：．22．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于，两点，则线段的最小值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，可得，则，即，易知直线过该抛物线的焦点，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，故选：．23．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为　　A． B．9 C． D．4【解答】解：如图，设的右焦点为，由题意可得，，因为，所以，．的周长为，即当，，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，联立方程组，解得或，即此时的纵坐标为，故的面积为．故选：． 题型七  利用圆锥曲线的定义24．已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　A．3 B． C． D．【解答】解：由椭圆的方程可得，焦点，因为在椭圆内部，设右焦点，则，则，当且仅当，，三点共线时取等号，故选：．25．已知抛物线的焦点为，设和是上的两点，且是线段的中点，若，则到轴的距离的最小值是　　A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：因为的方程为，所以，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得：，则，所以，线段的中点到的准线的距离最小值为3，故点到轴的距离最小值为．故选：．26．双曲线，已知是坐标原点，是双曲线的斜率为正的渐近线与直线的交点，是双曲线的右焦点，是线段的中点，若是圆上的一点，则的面积的最小值为　　A． B． C．2 D．【解答】解：由双曲线的方程知，，，，，所以斜率为正的渐近线方程为，与直线的交点的坐标为，点的坐标为，所以直线的方程为，，点是圆的动点，当点到直线的距离最小时的面积的最小，又点到直线的距离的最小值为，所以的面积的最小值为．故选：．27．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：由题可得抛物线焦点，准线方程为，过点作与准线垂直，交于点，直线整理得，联立可得，即该直线过定点，设，连接，取中点，则，，若，则在以为直径的圆上，该圆方程为，又由，得，如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点’，则即为的最小值，即的最小值为．故选：．28．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为　　A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，可得双曲线，焦点为，，由双曲线的定义可得，由圆可得圆心，半径，，连接，交双曲线于，圆于，可得取得最小值，且为，则的最小值为．故选：．