（人教A版2019选择性必修第一册）专题16 圆锥曲线常考题型04——定值问题

这是一份（人教A版2019选择性必修第一册）专题16 圆锥曲线常考题型04——定值问题，文件包含专题16圆锥曲线常考题型04定值问题解析版docx、专题16圆锥曲线常考题型04定值问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题17  圆锥曲线常考题型04——定值问题圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的另一个难点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值． 1．过抛物线的焦点为且斜率为的直线交曲线于，、，两点，交圆于，两点，两点相邻）．求证：为定值；【解答】证明：依题意直线的方程为，代入，得，△，则，．为定值；2．已知椭圆的左、右顶点分别为、，设是曲线上的任意一点．当点异于、时，直线，的斜率分别为，，则是否为定值？请说明理由；【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：，设，，因为在椭圆上，所以，所以则，所以由题意可得是为定值，且定值为；3．椭圆，的离心率，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值．【解答】（1）解：椭圆，的离心率，点在上，可得，，解得，，所求椭圆方程为：．（2）证明：设直线，，，，，，，，把直线代入可得，故，，于是在的斜率为：，即．直线的斜率与的斜率的乘积为定值．4．已知抛物线与双曲线有相同的焦点．（1）求的方程，并求其准线的方程；（2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，，，证明：，均为定值．【解答】（1）解：双曲线，，可得双曲线的右焦点为，，则，即，故的方程为，其准线的方程为；（2）证明：由题意直线过点且斜率存在，设其方程为，联立，整理得，，，，，为定值，则为定值．5．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且的离心率为．（1）求与的方程；（2）若，直线与交于，两点，且直线，的斜率都存在．①求的取值范围；②试问两直线，的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）因为的离心率为，所以，解得，则的方程为．因为的焦点与的焦点相同，所以，所以，则的方程为．（2）①联立得，其中△，解得．又直线，的斜率都存在，所以，故的取值范围是．②设，，，，则，，则，故直线，的斜率之积不是定值．6．设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，得，解得，，，所以双曲线的方程为．（2）设点坐标为，，过点与渐近线平行的直线分别为，，方程分别为，，联立，解得，同理联立，解得，又渐近线方程为，则，所以，又点在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值，且定值为．7．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以△，即，由方程组得，则△，设，，，，则，，设直线，直线的斜率为，，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值．8．已知抛物线的准线过点．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作直线交抛物线于，两点，证明：为定值．【解答】（1）解：由题意可得，抛物线的准线方程为，，故抛物线的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，，联立，得．．则．为定值．9．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于不同的两点，．①若为坐标原点），证明点到直线的距离为定值，并求出这个定值②若直线，的斜率都存在并满足，证明直线过定点，并求出这个定点．【解答】解：（1）由题意得，，即．动点的轨迹的方程是．（2）设点，，，，联立，化为，△．，．，①若，则，，，化为，此时点到直线的距离．②，，，，代入化为，化简得，解得或．当时，直线恒过原点；当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线恒过定点．10．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则有，解得，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又，设，，，，则由，解得，所以，因为，则有，，，所以，同理可得，所以，即是定值．11．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为3，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）试探究，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：点，，的面积为3，，又，，，解得，，椭圆的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，点，，，，则直线的方程为，令，得点的横坐标，直线的方程为，令，得点的横坐标，，把直线代入椭圆得：，，，12．已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点、的点，△是边长为4的等边三角形．（Ⅰ）写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点满足：，．求证：△与△的面积之比为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为△是边长为4的等边三角形，所以．所以．所以，椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，则直线的方程为．由，直线的方程为．将代入，得，因为是椭圆上异于点，的点，所以．所以．由，所以直线的方程为．由，得．所以．13．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”．若椭圆的离心率，点在上．求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，（3分）卫星圆的方程为（4分）证明：①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，所以，所以线段应为“卫星圆”的直径，所以（7分）②当，都有斜率时，设点，，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，联立方程组，消去，整理得，（9分）所以（10分）所以（11分）所以，满足条件的两直线，垂直．所以线段应为“卫星圆”的直径，所以综合①②知：因为，经过点，，又分别交其“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段为“卫星圆” 的直径，所以为定值（12分）14．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，过点的直线交椭圆于、两点，的周长为16．（1）求椭圆的方程；（2）已知为原点，圆与椭圆交于、两点，点为椭圆上一动点，若直线、与轴分别交于、两点，求证：为定值．【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆的方程为；（2）证明：由条件可知，，两点关于轴对称，设，，，，则，，由题可知，，，所以，．又直线的方程为，令得点的横坐标，同理可得点的横坐标，所以，即为定值．15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，，解得，，椭圆的方程为．（2）是定值．证明如下：设过的直线：或者①时，代入椭圆，，令，，，，．②代入椭圆，设，，，．则，，，，，，．16．如图，椭圆经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，结合，解得，椭圆的方程为；（Ⅱ）由题设知，直线的方程为，代入，得，由已知△，设，，，，，则，，从而直线与的斜率之和：．17．已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点（Ⅰ）当时，求面积的最大值；（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．【解答】解：（Ⅰ）当时，将代入，解得：，． 当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值3， 面积的最大值是．（Ⅱ）设，两点坐标分别为，，从而． 设，，则有，，． 直线的方程为， 令，得，从而． 直线的方程为，（10分）令，得，从而． 所以，， ．为定值． 18．如图，已知点是抛物线上一点，过点作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于、两点，直线的斜率为．（Ⅰ）若直线、恰好为圆的切线，求直线的斜率；（Ⅱ）求证：直线的斜率为定值．并求出当为直角三角形时，的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，由直线与圆相切，可得，解得．（Ⅱ）设，，，，联立直线与抛物线方程，消去可得：，，，．用代替可得：，．因此，，即直线的斜率为定值，当时，由得，此时，，，求得，，，当时，可得，此时，，，求得，，，当时，无解．综上所述，当为直角三角形时，的面积为或12．19．已知椭圆的两个焦点是，，点，在椭圆上，且（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得，即．（2分）将点，的坐标代入，得，解得：．（4分）椭圆的方程是．（5分）（Ⅱ）证明：由关于轴于对称，得，．设，，则有，，．（6分）直线的方程为，（7分）令，得，（8分）．直线的方程为：，（9分）令，得，（10分）．（12分）为定值．（14分）20．椭圆焦点在轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，的面积，则是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得，即有椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设，，，（1）当斜率不存在时，，两点关于轴对称，，又，解得，；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入，得，即有，则，到距离，则，解得，满足△，则，即有，综上可得为定值5．21．已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，，所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，由，得，所以曲线的方程为．（2）设，，，，，由已知直线的斜率存在，设直线，联立方程组，得，．（定值）．22．如图，已知动圆过点，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆的方程知，圆心为，半径为．设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且．因为圆过点，则，于是，所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆．因为，则，又，则，所以曲线的方程：．（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，即．设点，，，，则，．设点，则，，则．若为定值，则，解得，此时为定值．当直线与轴重合时，点，．对于点，则．，此时．综上分析，存在点，使得为定值．23．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为．设过点的直线与椭圆相交于不同两点，，周长为8．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点，证明：当直线变化时，总有与的斜率之和为定值．【解答】解：由题意知，，所以．因为，所以，则．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，，，，，，整理得：，△恒成立，，，由，，的斜率存在，由，两点的直线，故，，由，，直线与的斜率之和为0，综上所述，直线与的斜率之和为定值，定值为0．24．在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况？说明理由；（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线与轴交于、两点，可设，，，，由韦达定理可得，若，则，即有，即为这与矛盾，故不出现的情况；（2）证明：设过、、三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价，可得，，圆的方程即为，由圆过，可得，可得，则圆的方程即为，另解：设过、、三点的圆在轴上的交点为，则由相交弦定理可得，即有，再令，可得，解得或．即有圆与轴的交点为，，则过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．25．已知椭圆过点，两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．【解答】（1）解：椭圆过点，两点，，，则，椭圆的方程为，离心率为；（2）证明：方法一、如图，设，，则，所在直线方程为，取，得；，所在直线方程为，取，得．，．．四边形的面积为定值2．方法二、由题意设，其中，则，取，得，同理求得，．