（人教A版2019选择性必修第一册）专题15 圆锥曲线常考题型03——定点问题

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专题15  圆锥曲线常考题型03——定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点．解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点．求解这类难点问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．1．如图，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，直线与抛物线交于，，，两点，且，，为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：，再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，所以由题意可得，解得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设直线的方程为，，联立，整理可得：，可得：，，，，解得，所以直线的方程为：，所以直线恒过定点．2．已知抛物线．（1）若与圆在第一象限内交于，两点，求直线的方程；（2）直线过点交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点．【解答】解：（1）联立，解得或，故，可得直线的方程为，即，（2）证明：由题意，可设直线方程为，，，，，，，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，由韦达定理可得，，由题意，可设直线方程为，，化简整理可得，，，解得，方程为，直线必过点，为定点，即得证．3．设，和，是抛物线上的两点，且．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）证明：当点，在上运动时，线段的垂直平分线过定点．【解答】解：（Ⅰ），和，是抛物线上的两点，且，由，可得，，，则，或，可得直线的方程为，即为；或，即为；（Ⅱ）证明：由题意可得，，相减可得，可得的斜率，，可得中点的横坐标为5，可得的垂直平分线方程为，即为，可得，，则线段的垂直平分线过定点，．4．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为．（Ⅱ）证明：根据题意当的斜率部位0时，设直线方程为，，，，，联立，可得，所以，，，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以，，，即（舍去）或，所以直线的方程为，即，所以直线经过定点．当的斜率为0时，由对称性知，，此时也过，所以直线经过定点．综上直线经过定点．5．如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．（1）求抛物线的标准方程和准线方程；（2）若，证明：直线恒过定点．【解答】（1）解：设抛物线的方程为，则代入，可得，抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）证明：设，，，，则直线方程，方程，联立直线方程与抛物线方程，消去，得，①同理②而直线方程为，③，由①②③，整理得．由且，得，，故直线经过定点．6．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则，，，化为．当时，也满足上式．动圆圆心的轨迹的方程为．（Ⅱ）设，，，由题意可知，，．轴是的角平分线，，，，化为．直线的方程为，，化为，化为，，令，则，直线过定点7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为．（1）求；（2）已知直线与相交于，两点，过点作平行于轴的直线交直线于点．问：直线是否过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，圆可得圆心，半径，到圆的最大距离为：，由题意可得，，解得：；（2）由（1）得抛物线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：，，，由题意可得，，所以直线的方程为：，令，可得，所以直线恒过轴上的一定点．8．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．（1）求抛物线的方程；（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设，，，，联立，整理可得：，所以可得，，进而可得，由，可得：，即，可得，所以抛物线的方程为：；（2）证明：设，，，，，，由，，三点共线可得，，即，整理可得：，所以，同理可得，，三点共线，，所以直线的方程：，整理可得：，将，的值代入直线方程可得：，所以解得：，所以直线过定点．9．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到直线距离为，且，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知斜率之和为的两条直线，相交于点，直线，与曲线分别相交于，，，四点，且线段、线段的中点分别为，，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）因为动点到点的距离为，到直线距离为，且，则动点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，其焦点坐标为，故曲线的方程为；（2）设，的方程分别为，，联立方程组，可得，所以，则，同理可得，所以，由，所以，则直线的方程为，整理可得，故直线恒过定点．10．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）设，根据题意可得，化简得曲线的方程为．（2）证明：设，，，，①若直线，都存且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，由，得，当时，这个方程变为只有一解，直线与曲线只有一个交点，不合题意，当时，△，直线与曲线恒有两个交点，由韦达定理，，故线段的中点为，，同理，线段的中点为，，若，则，直线的方程为，即，此时，直线恒过点．若，则，或，，直线的方程为，此时直线过点，②若直线，中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在，不妨设的斜率为0，则直线，，此时，直线的方程为，此时，直线也过点，综上，直线也过点．11．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且．求证：直线过定点．【解答】（Ⅰ）解：因为曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（Ⅱ）证明：设直线，，，，，联立方程组，可得，所以，，所以，，，因为线段为直线的圆过点，所以为直角三角形，故有，所以，化简可得，又因为，，所以，所以，因为，，所以，所以，解得或，因为直线不过原点，所以，故，所以直线，令，则，所以直线恒过定点．12．已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由离心率为，且，得，，即双曲线方程为．又点在双曲线上，，解得，，双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，，，，则由，得，即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在．不妨设直线的方程为，代入，整理得，△．设，，，，则，由，得，即，整理得，，整理得：，即，或．当时，直线的方程为，经过定点；当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意．综上，直线过定点．13．设是椭圆上异于长轴顶点，的任意一点，过作的切线与分别过，的切线交于，两点．已知，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否过轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由．【解答】解：（1）由题可知，解得，，所以，所以的方程为．（2）设，，由于是异于长轴顶点，的任意一点，故切线斜率存在．设过的椭圆的切线为，联立方程，得，△，结合，解得过点的切线方程为．由于分别过，的切线分别为，，解得，的坐标为，，在轴上取点，则，，所以，当时，，所以，以为直径的圆过轴上的定点为，．14．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．【解答】解：（1）椭圆的焦距为，离心率为，，即，又椭圆离心率为，，，，故椭圆的方程为：．（2）设，，，，联立，消去整理得：，所以△，，所以，，因为，所以，，，所以，整理得：，解得：或（舍去），所以直线过定点．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，设点，在△中，，周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（1）解：由，，①又△的周长为，，②联立①②，解得，椭圆方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，，，，由，，，得，此时，重合，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程：，交点，，，，由．，依题：，，，，．直线方程为：，则过定点．16．已知斜率为的直线经过点与抛物线，为常数）交于不同的两点，，当时，弦的长为．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）斜率为的直线经过点，直线方程为，联立，得，△，即（舍或．设，，，，则，，弦的长为，，整理，得，解得或（舍，抛物线的标准方程为．（2）设的方程为，代入抛物线的方程，可得设，，，，，，则，由，直线的方程为，，可得，，直线的方程为可得，，，直线过定点．17．过点的动直线与抛物线相交于、两点，已知当的斜率为时，．（1）求抛物线的方程；（2）设圆，已知，是抛物线上的两动点，且直线，都与圆相切是坐标原点），求证：直线经过一定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）由题意可得直线的方程为，设，，，，联立，整理可得，所以，，所以，①，②因为，所以，，，所以③由①②③可得，所以抛物线的方程为；（2）证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，，，联立直线与抛物线的方程可得，所以，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为直线，都与圆相切，圆心到直线，的距离相等，所以，整理可得，代入可得，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点．18．从抛物线上任意一点向轴作垂线段，垂足为，点是线段上的一点，且满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点，以为直径的圆是否过轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）设，，，则点的坐标为，．因为，所以，，，（2分）即，（3分）因为点在抛物线上，所以，即．所以点的轨迹的方程为．（5分）（2）以为直径的圆过轴上的定点和．理由如下：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得，．（7分）设点，则．所以直线的方程为．令，得点的坐标为．（9分）同理可得点的坐标为．（10分）如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．因为．所以．即，解得或．故以为直径的圆过轴上的定点和．（12分）19．已知椭圆的右焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的右焦点为，且经过点．可得，，则椭圆方程为；（Ⅱ）证明：与椭圆方程联立，可得，设，，，，△，，，的方程为，令，可得，即，；的方程为，令，可得．即，．，，即为，即有，由，解得，满足△，即有直线方程为，恒过原点．20．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，又的横坐标为1，椭圆必不过，，，三点在椭圆上．把，代入椭圆，得：，解得，，椭圆的方程为．证明：（2）证法一：①当斜率不存在时，设，，，直线与直线的斜率的和为，，解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设，，，，，，联立，整理，得，，，则，又，，此时△，存在，使得△成立，直线的方程为，当时，，过定点．证法二：将坐标系向上平移一个单位，如图：椭圆方程化为，即，设直线对应的直线为，则化齐次联立，得：，整理得，结合两直线斜率之和为，得，，直线恒过点，在原坐标系中，直线过点．21．已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左，右焦点，过斜率不为零的直线交椭圆于，两点，△的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于，两点，试判断以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由．【解答】解：（1）由题意，，因为，所以，而，所以，故椭圆的方程为：，（2）由（1）知，设的方程为：，代入得：，设，，，，则，，因为，所以，所以直线的方程为：，令，得，所以，同理可得，若以为直径的圆过长轴上定点，则，设，，则，，于是对任意实数恒成立，所以，而所以，解得或，因为，所以，以为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，且定点为．22．已知平面内的两点，，，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为．（1）求的方程．（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，，若直线，斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，可得，化为，即为；（2）证明：设直线，则，即，设，，，，而，，，则由，得，则，即，整理得，解得或（舍去），所以直线，知直线恒过点，．23．已知的两个顶点，的坐标分别是，，且直线，的斜率之积是．（1）是否存在定点，，使得为定值？（2）设点的轨迹为，点，，是上互异的三点，且，关于轴对称，．求证：直线恒过定点．【解答】解：（1）设，由已知得，，，，则，得，化简得：，由椭圆的定义可知，存在定点定点，，使得为定值．（2）证明：由于，，是上互异的三点，所以，，斜率存在，由条件，．得．设的方程为，，，，，将代入，消去得，即，得，，由，展开，整理得，解得（舍去）或．所以过定点，．