2023年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题

专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题

1．设函数，则使得成立的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：函数，

那么

可知是偶函数，

当，是递增函数，

成立，等价于，

解得：，

故选：．

2．设函数，则使得成立的的取值范围是　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

【解析】解：是上的偶函数，时，，

在，上是增函数，

由得，，

，

，解得，

的取值范围是．

故选：．

3．函数，则使得成立的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【解析】解：是偶函数，且在上单调递减；

由得，；

，且，；

，且，；

解得，且；

的取值范围是：．

故选：．

4．已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【解析】由，知在上单调递增，

且，即函数为奇函数，

故，

解得．

故选：．

5．已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由于，

则，

故函数为奇函数．

故原不等式，

可转化为，

即；

又，

由于，

故恒成立，

故函数单调递增，

则由可得，

，即，

解得，

故选：．

6．已知函数，则关于的不等式的解集为　　

A．， B． C． D．

【解析】解：设，

，

即为奇函数且单调递增，

由可得即，

所以，

解得，．

故选：．

7．已知函数，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为；

设，

有，即函数为奇函数，

又由函数和都是上的增函数，故为上的增函数；

，

则有，

解可得；

即的取值范围为，；

故选：．

8．已知函数，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

令，

，

，

，

，

，

单调递增，

，

解可得，．

故选：．

9．偶函数满足下列条件①时，；②对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

【解析】解：根据条件得：；

；

；

；

；

整理得，在，上恒成立；

设，；

；

解得；

实数的取值范围为，．

故选：．

10．已知函数，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【解析】解：

，

则，

则不等式，等价于，

即，

在上是增函数，

得，得，

即不等式的解集为．

故选：．

11．设函数，则使得成立的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：函数，

由解析式可知，为偶函数且在，上单调递减，

则，

或，

故选：．

12．已知定义域为的函数在，上单调递增，若是奇函数，则满足 的范围为　　

A． B．， C． D．，

【解析】解：是奇函数；

关于点对称；

又在，上单调递增；

在上单调递增；

由得，；

；

；

；

解得；

的范围为．

故选：．

13．设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：（排除法）当时，则，，

由得，即在，时恒成立，显然不成立，排除、、，

故选：．

14．已知是方程的根，是方程的根，函数是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

【解析】解：由程得，

由得，

记，则其反函数，

它们的图象关于直线轴对称，

根据题意，，为，的图象与直线交点，的横坐标，

由于两交，点关于直线对称，

所以，点的横坐标就是点的纵坐标，即，

将代入直线得，，

则当时，，

函数是定义在上的奇函数，

若，则，

则，

即，，

则，

则函数在上为增函数，

若对任意，，不等式恒成立，

即若对任意，，不等式恒成立，

则恒成立，

则，

则，

，，

，

即

则，

故选：．

15．设函数，则不等式的解集为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：根据题意，函数，设，其定义域为，

又由，即函数为偶函数，

当时，，有，为增函数，

的图象向右平移1个单位得到的图象，所以函数关于对称，在上单调递减，在上单调递增．

由，可得，

解可得：且，

即的取值范围为；

故选：．

16．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则不等式（1）的解集为　　

A． B． C．，， D．

【解析】解：是定义在，上的偶函数，，，

函数在，上为增函数，函数在，上为增函数，故函数在，上为减函数，

则由（1），可得，且，

解得或，

故不等式（1）的解集为．

故选：．

17．已知定义在上的函数，则不等式的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：令，则，

则是奇函数，

则当时，，为减函数，

当时，为减函数，

即是奇函数，

则等价为，

即，

则，

则，得，，即原不等式的解集为，，

故选：．

18．函数是上的奇函数，（1），且对任意，有，则不等式的解集为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：对任意，有，

在上单调递增，

又是上的奇函数，（1），

所以，

则由不等式可得（1），

所以，

解可得，．

故选：．

19．已知是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，

则有，解可得，

所以，函数的定义域为，

由于函数在区间，上单调递增，则该函数在区间，上单调递减，

由于函数为偶函数，则，

由，可得，则，

解可得：．

因此，不等式的解集为，

故选：．

20．设函数，则不等式的解集是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：由题意知，函数可由向左平移两个单位而得到，

而函数是定义域为的偶函数，

函数和函数在上递增，且，，

在上递减，

在上递减，

的定义域为，关于对称，并且在上递减，

不等式等价于，解得或．

故选：．

21．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：由已知得：的定义域为，

，

，

故函数是奇函数，且增函数，

，

，

故答案为：

22．已知函数为自然对数的底数），且，则实数的取值范围为　　．

【解析】解：函数为自然对数的底数），

，且在单调递增，

，

，

即，

实数的取值范围为或，

故答案为：，，

23．是定义在上函数，满足且时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：由，，

可得为上偶函数，在上为单调增函数，

则，

即为，

即，

化简可得，①

（1）当时，①的解为：，

对任意，，①式恒成立，则需，

解得；

（2）当时，①的解为，

对任意，，①式恒成立，则需，

解得；

（3）当时，①式恒成立；

综上所述，．

故答案为：，．

24．已知，若对任意，，恒成立，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：，

可得在，递增，在，递增，且，

则在上递增，

由可得，

则在，恒成立，

即有在，的最小值，

可得，

解得，

故答案为：．

25．设是定义在上的奇函数，且当时，，则　0　；若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　．

【解析】解：是奇函数，时，，

当时，．

当时，，

当时，．

．

，

恒成立恒成立．

是增函数，

在，上恒成立．

，，．

令，则在，上是增函数．

．

，解得．

故答案为：0，，．

26．已知函数则，则不等式的解集是　　．

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，且，

则为偶函数，

在，上，，在，上为减函数，

不等式，解可得，

即不等式的解集为，

故答案为：．