2021-2022学年江苏省镇江市市区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江苏省镇江市市区七年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列长度的各组线段中，不能组成一个三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 下列命题：两直线平行，内错角相等；三角形的外角和是；互为相反数的两个数的和为零；若，则其中，假命题有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如图，一副直角三角板按图所示的方式摆放它们的直角顶点重合，现将含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点以每秒的速度顺时针转动一周如图，设运动时间为秒，若三角板的直角边与三角板的斜边平行，则等于秒(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

5. 我们知道：，，，，那么接近于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 孙子算经中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙各持钱数为、，则丙持钱数不可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共24分）

7. 计算：______．
8. 分解因式：______．
9. 已知，用“”或“”号填空： ______．
10. 一个多边形的内角和等于，则它的边数是______．
11. 命题“能被整除的数，它的末位数字是”的逆命题是______．
12. 请写出方程的一个正整数解是______ ．
13. 如图，把一张长方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，已知，则______

14. ______．
15. 关于，的二元一次方程组，若，则的取值范围是______．
16. 如图，数轴上表示的是关于的一元一次不等式组的解集，则的取值范围是______．

17. 年中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会，冬奥会火炬外壳采用了重量轻、耐高温的碳纤维及其复合材料制造而成，具有“轻、固、美”的特点．已知某种成型的碳纤维直径约微米微米米，这种碳纤维的横截面的面积约为______米，结果用科学记数法表示．
18. 一块三角形空地，三边长分别为、、，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则长的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共12分）

19. 计算：；
    化简：；
    因式分解：．

四、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    解方程组：；
    解不等式组：．
21. 本小题分
    如图，在中，，过点作，过点作，与相交于点．
    依题意，补全图形；
    求证：与互余．

22. 本小题分
    如图，方格纸中每个小方格的边长为个单位长度，为格点三角形顶点都在小正方形的顶点处．
    在这张网格纸上按要求画图：
    将向右平移格，再向上平移格，使得点与点重合，画出平移后的；
    画一个以为直角边的格点，再画一个以、为顶点的格点等腰；
    在上述你所画的三角形中，符合与的面积相等的三角形是______．
     

23. 本小题分
    年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融凭借可爱的外形收获了大批粉丝．如果购买个冰墩墩手办和个雪容融挂件，一共需要花费元；如果购买个冰墩墩手办和个雪容融挂件，一共需要花费元．
    冰墩墩手办和雪容融挂件的单价分别是多少元？
    如果七班要购买冰墩墩手办和雪容融挂件共个，并且预算总费用不超过元，那么最多能购买多少个冰墩墩手办？
24. 本小题分
    【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：
    证明：，
    ____________．
    ，，
    ____________．
    ．
    【问题解决】
    请将上面的证明过程填写完整；
    有以下几个条件：，，，．
    请从中选择两个作为已知条件，得出结论．
    你选择的条件序号是______，并给出证明过程．
25. 本小题分
    从图中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于、的等量关系是______；
    尝试解决：
    已知：，，则______；
    已知：，，求的值；
    已知：，求的值；
    填数游戏：如图，把数字填入构成三角形状的个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于，将每边四个数字的平方和分别记、、，已知如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为、、，求的值．
     

26. 本小题分
    定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
    【理解】
    若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为______；
    若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为______；
    已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；
    【应用】
    如图，平分的内角，交于点，平分的外角，延长和交于点，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：．
先根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则计算，再判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握相关运算法则并熟练运用．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，能组成三角形；
D、，能组成三角形．
故选：．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：两直线平行，内错角相等，是真命题；
三角形的外角和是，故本小题命题是假命题；
互为相反数的两个数的和为零，是真命题；
若，则，是真命题；
故选：．
根据平行线的性质、三角形外角和、互为相反数的概念、实数的乘方以及实数的大小比较法则判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图中，，
，
旋转角为或时，，
，，
或，
故选：．
判断出时，旋转角的度数，可得结论．
本题考查等腰直角三角形，平行线的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
利用幂的乘方和负整数幂的运算法则进行运算．
本题考查了幂的乘方和负整数幂，掌握运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设丙持钱数为，
根据丙语得，
整理得，
故A选项不符合题意；
根据甲语得，
整理得，
故B选项不符合题意；
根据乙语得，
整理得，
故D选项不符合题意，选项符合题意．
故选：．
设丙持钱数为，根据丙语列方程为，根据甲语列方程为，根据乙语列方程为，再整理，用含，的代数式表示即可．
本题考查列代数式，能根据已知条件正确列出等量关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的乘方，掌握负数的偶数次幂和奇数次幂的符号规律是解题的关键．
根据有理数的乘方运算法则计算即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识题目比较简单，解题需细心．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
则：，
解得，
故答案为：．
根据边形的内角和为列出关于的方程式，解方程即可求出边数的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键在于要根据公式进行正确运算，变形和数据处理．
 

11.【答案】末位数字是的数，能被整除 

【解析】解：命题“能被整除的数，它的末位数字是”的逆命题是“末位数字是的数，能被整除”，
故答案为：末位数字是的数，能被整除．
根据逆命题的概念解答即可．
本题考查的是逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】
解：方程，变形得：，
当时，，
则方程的一个正整数解为．
同样地，当、，存在正整数解，
答案不唯一．
故答案为：，答案不唯一．
【分析】
将看做已知数求出，即可确定出正整数解．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是长方形，
，
在中，，
，
，
由折叠得，，，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角形两锐角互余求得，再由折叠的性质求出，最后由直角三角形两锐角互余求得．
本题主要考查了折叠的性质以及直角三角形两锐角互余，正确识别图形是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
将右式化简后，移项即可求得答案．
本题考查了完全平方公式的基本运算，解题关键在于熟记完全平方公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得，
，
．
解得：．
故答案为：．
先用加减消元法求得的值用含的式子表示，然后再列不等式求解即可．
本题主要考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，求得的值用含的式子表示是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
从数轴可知：不等式组的解集为，
．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，最后求出的取值范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解题关键，难度适中．
 

17.【答案】 

【解析】解：米，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：如图，设中边上的高是，将分成甲、乙两个部分，其中为甲部分，为乙部分．
由题意，可得，
即，
如果，
那么．
如果或，
同理可得或．
故答案为：或或．
设中边上的高是，将分成甲、乙两个部分，其中为甲部分，为乙部分．根据乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，列出不等式组，再分或或，解不等式组即可求出的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形的面积，根据题意列出不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式；
原式． 

【解析】先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案．
先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案．
通过提取公因式化简，即可得出答案．
本题考查了完全平方公式的基本运算以及提取公因式的基本算法，关键在于能够正确进行计算，解出答案．
 

20.【答案】解：，
，得，
所以，
把代入，得，
解得，
所以方程组的解为；

，
解不等式，得：，
解不等式，得：．
故不等式组的解集为． 

【解析】利用加减消元法解方程组即可；
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．
 

21.【答案】解：补全图形如图所示；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，即与互余． 

【解析】根据题意画出图形；
根据直角三角形的性质得到，根据平行线的性质、同角的补角相等得到，证明结论．
本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，和为所作；

与的面积相等．
故答案为：．
利用点平移的规律画出、、的对应点、、即可；
把绕点顺时针旋转得到，则为格点直角三角形，然后在的垂直平分线上取格点得到等腰；
根据平移的性质得到与的面积相等．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了等腰三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：设冰墩墩手办的单价为元，雪容融挂件的单价为元，根据题意得：
，
解得：．
答：冰墩墩手办的单价为元，雪容融挂件的单价为元．
，
解得：，
因为要取整数，
所以最多购买个冰墩墩手办． 

【解析】根据“购买个冰墩墩手办和个雪容融挂件，一共需要花费元；如果购买个冰墩墩手办和个雪容融挂件，一共需要花费元”列出二元一次方程组计算即可；
设购进个冰墩墩，则购进个雪容融，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】        ． 

【解析】证明：，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：，，，；
，，
，依据：两个负数，绝对值大的反而小，
故答案为：．
根据不等式的基本性质填空；
根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可．
本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
 

25.【答案】图：，图：，图：填一个即可   

【解析】解：由题意得：图：；图：；图：；填一个即可
故答案为：；；；填一个即可
，
，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，，，
；
，
，
，
；
数字的和为：，
各边上的四个数字的和都等于，
，
，即，
每边四个数字的平方和分别记、、，满足，
且，
，
，
，
，
．
观察题图，根据阴影部分的面积不变得结论；
直接根据的结论代入求值即可；
先得出，再得出，最后利用的结论解答即可；
先求数字的和，再求出，最后根据得出结果．
本题主要考查了完全平方公式，看懂和理解题图是解决本题的关键．
 

26.【答案】  或 

【解析】解：设最小角为，
为开心三角形，，
，
，
故答案为：；
当是“开心角”，则最小角为；
当不是“开心角”，设最小角为，
，
，
故答案为：或；
是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
另一个开心角是，
第三个内角是，
是最小内角，
，
；
【应用】
平分的内角，
，
，
设，
平分的外角，
，
，
，
，
，
，
，
当与互为开心角时，
或，
或，
解得；
当与互为开心角，
或，
或，
解得或；
综上所述：或或．
设最小角为，由题意可得，求出即为所求；
当是“开心角”，则最小角为；当不是“开心角”，设最小角为，，；
三角形另一个开心角是，第三个内角是，再由，可得；
【应用】由题意可得，设，则，，，分两种情况讨论：当与互为开心角时，或，求得；当与互为开心角，或，求得或．
本题考查三角形的内角和定理，三角形的内角平分线和外角平分线，理解定义，熟练掌握三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，分类讨论是解题的关键．