高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则课文配套课件ppt

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4.2.2　对数运算法则
课标要求
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
素养要求
通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及换底公式，会用对数的运算法则进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、对数运算法则1.思考　对数运算可以看作指数运算的逆运算，若2a＝M，2b＝N，如何计算a＋b？能得到怎样的运算法则？ 提示　由2a·2b＝2a＋b＝M·N，化为对数式为a＋b＝log2(MN)，又a＝log2M，b＝log2N，所以log2(MN)＝log2M＋log2N.
2.填空　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝________________________； (2)logaMα＝______________； (3)loga＝________________________.
logaM＋logaN
αlogaM
logaM－logaN
温馨提醒　(1)对数的运算法则可简单的用语言表达为：积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，一个数的α次方的对数等于这个数对数的α倍.(2)有时会用到逆向运算，logaM＋logaN＝loga(MN)，注意限制条件：必须是同底的对数，真数必须为正数.
3.做一做　判断正误： (1)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).( ) 提示　必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误. (2)logaM·logaN＝loga(M＋N).( ) 提示　公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0). (3)log264－log222＝4.( )
×
×
√
1
温馨提醒　换底公式的意义就在于把不同底问题转化为同底问题.如在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值.
2
3.做一做　log35·log56·log69＝________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
利用对数运算法则化简或求值
题型一
解　原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
利用对数运算法则化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
解 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
函数利用换底公式化简、求值
题型二
例2 (1)计算(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解　法一　∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，
法二　∵18b＝5，∴log185＝b.又log189＝a，
函换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简.
训练2 (1)已知log1227＝a，用a表示出log616；
解　由log1227＝a，
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
题型三
对数的综合应用
解　法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
解　令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，
课堂小结
1.对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.易错易混点：(1)应用对数运算法则、换底公式时，易忽略底数与真数的条件. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
CD
C
C
4.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　) A.6 B.9 C.12 D.18
D
解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，
＝logk18＝1，∴k＝18.
5.已知x，y为正实数，则(　　) A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
D
解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
2
7.计算lg 4＋2lg 5＋log25·log58＝________.
5
＝lg 100＋3＝5.
1
解析　因为2a＝10，故可得a＝log2 10；因为5b＝10，故可得b＝log5 10，
＝2log32－5log32＋log332＋3log32－9＝2－9＝－7.
AD
解析　f(0)＝30＋1＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝4a－2＝3a，∴a＝2，f(log2a)＝f(log22)＝f(1)＝2×12－1＝1.
2
1
13.若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
解　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则2t2－4t＋1＝0.令该方程的两根分别为t1，t2，
由a，b是原方程的两个根，可设t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
14.国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整.
B
(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解　先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5，所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301－0.5≈4.8.