高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.4 频率与概率教学ppt课件

5.3.4　频率与概率

课标要求　1.了解频率、概率的区别与联系.2.能用频率估计概率.

素养要求　通过本节课的学习，提升学生的数学抽象和数据分析素养.

1.思考　抛一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，则连续抛10次，一定有5次正面向上吗？为什么？

提示　正面向上的次数不确定，因为概率表示一次试验中事件发生的可能性的大小，而在试验之前结果无法确定.

2.填空　用频率估计概率

(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.

(2)一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.此时也有0≤P(A)≤1.

温馨提醒　频率与概率的区别与联系

(1)区别：频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变.做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同；概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变.

(2)联系：①频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.

②在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率.

3.做一做　判断正误：

(1)随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率.(√)

(2)频率是客观存在的，与试验次数无关.(×)

提示　频率与实验次数有关，故错误.

题型一　频率与概率的关系

例1 下列关于概率和频率的叙述中正确的有________( 填序号).

①随机事件的频率就是概率；

②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个固定的数值；

③频率是客观存在的，与试验次数无关；

④概率是随机的，在试验前不能确定；

⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.

答案　②⑤

解析　随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个固定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确.

思维升华　概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说，单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.

训练1 下列说法正确的是(　　)

A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

答案　D

解析　一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确.

题型二　用频率估计概率

例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

解　(1)表中依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.

思维升华　概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率.

训练2 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：

(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01)；

(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)?

解　(1)表中由左至右，依次填入的数据是0.81，0.79，0.82，0.82，0.79，0.79，0.81.

(2)由于频率稳定在常数0.80附近，所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.

题型三　用频率估计概率的应用

例3 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；

(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

解　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，

所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，

所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.

(3)由题意，可知样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，

所以样本中的男生人数为30×2＝60，

女生人数为100－60＝40，

所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.

思维升华　概率是对随机现象发生可能性大小的度量，可以通过定义的方法得到，也可以通过统计的方法进行估计，根据频率分布直方图，找出对应的频数，计算频率，利用频率估计概率.

训练3 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，数学老师随机选取了若干名学生的成绩，并以[50，60)，[60，70)，…，[90，100]为分组，作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在[80，100]内的概率.

解　由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在[80，100]内的频率为

(0.03＋0.01)×(90－80)＝0.4.

因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在[80，100]内的频率可以估计为0.4.

根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学生该次数学考试成绩在[80，100]内的概率可以估计为0.4.

[课堂小结]

1.概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大.

2.频率与概率有本质的区别.频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越大时频率向概率越来越靠近.

一、基础达标

1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(　　)

A.f(n)与某个常数相等

B.f(n)与某个常数的差逐渐减小

C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定

答案　D

解析　随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.

2.(多选)下列叙述正确的是(　　)

A.频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小

B.做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率

C.百分率是频率，但不是概率

D.频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值

答案　AD

解析　根据频率与概率的定义及关系可知A，D正确，B，C不正确.

3.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　D

解析　抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，每一次出现正面朝上的概率均为.

4.在天气预报中，有“降水概率预报”，如预报“明天降水概率为78%”，这是指(　　)

A.明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水

B.明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水

C.气象台的专家中，有78%的专家认为会降水，另外22%的专家认为不降水

D.明天该地区降水的可能性为78%

答案　D

解析　概率是指随机事件发生的可能性的大小.

5.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.一年按365天计算，则两名学生的生日相同的概率是

B.买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖

C.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中次品的件数可能为160

D.昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的

答案　AC

解析　根据概率的意义逐一判断可知AC正确，BD不正确.

6.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10，20)2个；[20，30)3个； [30，40)x个；[40，50)5个；[50，60)4个；[60，70]2个；并且样本在[30，40)之间的频率为0.2.则x＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10，50)的频率约为________.

答案　4　0.7

解析　样本总数为20个，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4，∴P＝＝0.7.

7.样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为________.

答案　64　0.4

解析　由于[6，10)范围内，频率/组距＝0.08，所以频率＝0.08×4＝0.32，而频数＝频率×样本容量，所以频数＝0.32×200＝64.同样，估计数据落在[2，10)范围内的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.

8.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：

492　496　494　495　498　497　501

502　504　496　497　503　506　508

507　492　496　500　501　499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________.

答案　0.25

解析　易知袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的袋数为5，故其频率为＝0.25，即概率约为0.25.

9.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.

(1)计算并完成表格.

(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？

(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

解　(1)

(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.

(3)获得铅笔的概率约是0.7.

10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：

(1)将各组的频率填入表中；

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.

解　(1)利用频率的定义可得：[700，900)的频率是0.048；[900，1 100)的频率是0.121；[1 100，1 300)的频率是0.208；[1 300，1 500)的频率是0.223；[1 500，1 700)的频率是0.193；[1 700，1 900)的频率是0.165；[1 900，＋∞)的频率是0.042.

所以频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.

(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频数是48＋121＋208＋223＝600，

所以样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是0.6，

所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.

二、能力提升

11.(多选)下列说法中，正确的是(　　)

A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8

B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7

C.某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次

D.某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次

答案　ACD

解析　A中，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8；

B中，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是＝0.3；

C中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是，所以他应击中靶心10×＝5(次)；

D中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，所以他击不中靶心10×(1－0.6)＝4(次).故选ACD.

12.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.

由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题.

如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________.

答案　3.33%

解析　因为掷硬币出现正面向上的概率为，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.≈0.033 3，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.

13.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：

(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.

解　(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.

(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率约为.

三、创新拓展

14.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：

已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是(　　)

A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64

B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29

C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1

D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1

答案　AD

解析　任找一个人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们两两互斥.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确.故选AD.