高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法授课课件ppt

6.1.2　向量的加法

课标要求　1.理解向量和的定义，掌握向量加法的法则.2.理解向量加法的运算律.

3.了解有关和向量模的不等式.

素养要求　通过向量加法的运算，培养学生的直观想象、数学运算素养.

一、向量加法法则

1.思考　如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？

提示　当三个向量共线时，满足a＋b＋c＝0.但不构成三角形.

2.填空　向量求和的加法法则

温馨提醒　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”.

②三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.

联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.

3.做一做　判断正误：

(1)两个向量相加，结果有可能是个数量.(×)

提示　向量相加，结果仍是一个向量.

(2)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加.(×)

提示　向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的不共线的向量相加.

(3)在△ABC中，若＝a，＝b，则a＋b＝.(√)

二、向量加法的运算律及模之间的不等式

1.思考　若a，b是两个单位向量，则|a＋b|的取值范围是什么？

提示　当a与b方向相同时，|a＋b|取最大值为2.

当a与b方向相反时，|a＋b|取最小值为0.

故0≤|a＋b|≤2.

2.填空　(1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

(2)向量加法的运算律

①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.

②加法结合律对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

温馨提醒　不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左边取“＝”、右边取“＝”.当a，b共线，并且a，b方向相反或至少有一个为零向量时，不等式左边等号成立；

当a，b共线，并且a，b方向相同或者至少有一个为零向量时，不等式右边等号成立.

3.做一做　化简下列式子：(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________.

答案　(1)　(2)0

解析　(1)＋＝＋＝.

(2)＋＋

＝＋＋＝0.

题型一　向量加法的三角形法则和平行

四边形法则

例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.

解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.

(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.

思维升华　三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.求和作图时，可对向量进行平移.

训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.

(1)＋＝________；

(2)＋＝________；

(3)＋＝________.

答案　(1)　(2)　(3)0

题型二　向量的加法运算律

例2 化简或计算：(1)＋＋＝________.

(2)＋＋＋＋＝________.

(3)▱ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.

则①＋＝________；

②＋＋＝________；

③＋＋＝________；

④＋＋＝________.

答案　(1)　(2)0　(3)①　②　③　④0

解析　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

(2)＋＋＋＋

＝(＋)＋(＋)＋

＝＋＋＝＋＝0.

(3)①＋＝，

②＋＋＝＋＝，

③＋＋＝＋＝，

④＋＋＝＋＝0.

思维升华　(1)解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.

(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.

训练2 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：

(1)＋＋；

(2)＋＋＋.

解　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；

(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.

题型三　向量加法的实际应用

例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.

解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，

则飞机飞行的路程指的是||＋||；

两次飞行的位移的和指的是＋＝.

依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，

又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，

所以||＝

＝ ＝800(km).

其中∠BAC＝45°，

所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.

从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.

思维升华　解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.

训练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：

(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？

(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)

解　(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h，此时小船是静止的.

(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度.

设MC⊥MA，

||＝||＝10，∠CMN＝30°.

∵＋＝，

∴四边形MANB为菱形.

则∠AMN＝60°，

∴△AMN为等边三角形.

在△MNB中，||＝||＝||＝10，

∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，

∴∠CMB＝30°，

∴小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.

[课堂小结]

1.向量加法运算

三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.

2.易错点

(1)应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将向量0写成0.

(2)对不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|机械记忆易忽视等号成立的条件.

一、基础达标

1.化简＋＋＋的结果等于(　　)

A.    B. 

C.    D.

答案　B

解析　＋＋＋＝＋0＝.

2.(多选)在▱ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是(　　)

A.a＋b＝c    B.a＋d＝b

C.b＋d＝a    D.|a＋b|＝|c|

答案　ABD

解析　由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立.

3.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)

A.    B.

C.    D.

答案　C

解析　利用平行四边形法则作出向量＋，平移即可发现＋＝.

4.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)

A.＋＝    B.＋＝

C.＋＝    D.＋＝

答案　C

解析　对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，

∴＋＝；对于D，＋≠.

5.若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，

则(　　)

A.a∥b，且a与b方向相同

B.a，b是方向相反的向量

C.a＝－b

D.a，b无论什么关系均可

答案　A

解析　由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确；若a，b是方向相反的向量，则|a＋b|＝||a|－|b||，B错误；若a＝－b，则a＋b＝0，|a＋b|＝0，C错误；若a，b为任意非零向量，有|a＋b|≤|a|＋|b|，D错误.

6.已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.

答案　

解析　如图所示，＋＝，|＋|＝||，

在△OAC中，∠AOC＝30°，

||＝||＝1，

∴||＝，

即|＋|＝.

7.已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

答案　0

解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，则点E为BC的中点，延长AE到D点，使ED＝GE，

则＋＝，＋＝0，

∴＋＋＝0.

8.设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________；最小值为________.

答案　20　4

解析　当a与b共线同向时，|a＋b|max＝20；当a与b共线反向时，|a＋b|min＝4.

9.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度的大小.

解　如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5.

∵四边形OACB为矩形，

∴||＝＝5，

||＝＝10，

∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度大小为10 km/h.

10.如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：

(1)＋＋；

(2)＋＋；

(3)＋＋.

解　(1)＋＋＝＋＝.

(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.

(3)∵E，F分别是AC，AB的中点，

∴EF∥BC且EF＝BC.

∵D是BC的中点，

∴BD＝DC＝BC.

∴EF＝BD.

∴＋＋＝＋＋＝＋＝.

二、能力提升

11.(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为(　　)

A.a∥b

B.a＋b＝a

C.a＋b＝b

D.|a＋b|＜|a|＋|b|

答案　AC

解析　因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋＝0，所以A，C正确.

12.如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________(填序号).

①|＋|＝||；②|＋|＝||；③||2＋||2＝||2.

答案　①②③

解析　①正确.以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠BAC＝90°，

所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，

所以|＋|＝||＝||.

②正确.|＋|＝||＝||.

③正确.由勾股定理知

||2＋||2＝||2.

13.如图，已知向量a，b，c不共线.求作向量a＋b＋c.

解　法一　如图①，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c.

法二　如图②，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c.

三、创新拓展

14.如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.

求证：(1)＋＝＋；

(2)＋＋＝0.

证明　(1)由向量加法的三角形法则知，

＋＝，＋＝，

∴＋＝＋.

(2)由向量加法的平行四边形法则知，

＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0＋0＋0＝0.