高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.3 向量的减法示范课课件ppt

6.1.3　向量的减法

课标要求　1.了解向量的相反向量.2.理解向量差的定义，向量加法与减法的关系.

3.掌握向量减法的三角形法则.

素养要求　1.通过相反向量、向量的差的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2.通过学习向量减法法则及其应用，培养学生的直观想象、数学运算素养.

1.思考　向量的减法可以看成向量加法的逆运算吗？为什么？

提示　正确.利用相反向量的定义，就可以把向量减法化为向量加法.

2.填空　(1)向量的减法法则

(2)相反向量

温馨提醒　注意向量加、减运算三角形法则的区别.在应用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即非零向量a，b的差向量a－b，可简记为：共起点，连终点，指被减.

3.做一做　下列运算中正确的是(　　)

A.－＝    B.－＝

C.－＝    D.－＝0

答案　C

解析　根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.

题型一　向量减法的几何作图

例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

解　法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

①

法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

②

思维升华　在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.

训练1 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作b＋c－a.

解　法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，

则＝＋＝b＋c，

＝－＝b＋c－a.

法二　作＝＝b，

连接AD，则＝－＝c－a，

＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.

题型二　向量加、减法的基本运算

例2 化简：(1)－－；

(2)(－)－(－).

解　(1)法一　－－＝－＝.

法二　－－＝－(＋)＝－＝.

法三　－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.

(2)法一　(－)－(－)

＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.

法二　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.

法三　(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.

思维升华　利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.

训练2 化简：

(1)－＋－；

(2)＋＋－.

解　(1)－＋－

＝(＋)－(＋)

＝－＝0.

(2)＋＋－

＝(＋)＋(－)

＝＋＝0.

题型三　用已知向量表示其他向量

例3 如图，解答下列各题：

(1)用a，d，e表示；

(2)用b，c表示；

(3)用a，b，e表示；

(4)用d，c表示.

解　由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则

(1)＝＋＋＝d＋e＋a.

(2)＝－＝－－＝－b－c.

(3)＝＋＋＝a＋b＋e.

(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.

思维升华　(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.

(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：

 ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.

训练3 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

解　∵四边形ACDE为平行四边形，

∴＝＝c，＝－＝b－a，

＝－＝c－a，＝－

＝c－b，

∴＝＋＝b－a＋c.

题型四　向量加、减法几何意义的应用

例4 (1)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围.

(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求的值.

解　(1)∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，

∴3≤|－|≤15.

当与同向时，|－|＝3；

当与反向时，|－|＝15.

∴|－|的取值范围为[3，15].

(2)设＝a，＝b，则＝－＝a－b.

∵|a|＝|b|＝|a－b|，

∴BA＝OA＝OB.

∴△OAB为正三角形.设其边长为1，则

|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝.

∴＝＝.

思维升华　(1)向量a，b的模与a－b的模之间满足的关系式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.

(2)利用|a|，|b|，|a＋b|，|a－b|的几何意义画出图形，数形结合求解所求的模.

训练4 已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值.

解　设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.

∵(＋1)2＋(－1)2＝42，

∴||2＋||2＝||2.∴OA⊥OB.

∴平行四边形OACB是矩形.∵矩形的对角线相等，∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.

[课堂小结]

1.向量减法运算的常用方法

2.根据向量加法与减法的几何意义“若a，b是两个不共线的向量，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，那么＝a＋b，＝b－a”恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，要灵活运用平面图形的性质.

一、基础达标

1.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A.＝＋    B.＝－

C.＝－＋    D.＝－－

 答案　B

解析　由于＋＝，所以＝－，故B正确.

2.化简－＋＋的结果等于(　　)

A.    B.

C.    D.

答案　B

解析　原式＝－＝＋＝.

3.(多选)已知向量a与b反向，则下列等式中成立的是(　　)

A.||a|－|b||＝|a＋b|

B.|a＋b|＝|a－b|

C.|a|＋|b|＝|a－b|

D.|a|＋|b|＝|a＋b|

答案　AC

解析　因为向量a与b反向，则有||a|－|b||＝|a＋b|，故A正确，B错误.|a|＋|b|＝|a－b|，故C正确，D错误.

4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)

A.1   B.2   C.   D.

答案　A

解析　－＝，∴|－|＝||＝1.

5.下列各式不能化简为的是(　　)

A.＋(＋)

B.(＋)＋(－)

C.－＋

D.＋－

答案　D

解析　A中，原式＝＋＋＝＋＋＝；

B中，原式＝(＋)＋(－)＝0＋＋＝；

C中，原式＝＋－＝0＋＝；

D中，原式＝－＝＋≠.

6.可以写成：①＋；②－；③－；④－，其中正确的是________(填序号).

答案　①④

解析　①＋＝，正确；

②－≠＋，不正确；

③－＝，不正确；

④－＝，正确.

7.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________.

答案　a＋b　b－a

解析　由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.

8.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是________.

答案　[3，13]

解析　∵||＝|－|且

|||－|||≤|－|≤||＋||，

∴3≤|－|≤13.∴3≤||≤13.

9.已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.

解　法一　如图所示，

＝＋＝a＋

＝a＋(－)＝a＋c－b.

法二　＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＝＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.

10.化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－).

解　(1)(－)－(－)

＝－＝.

(2)(＋＋)－(－－)

＝＋－＋(＋)

＝＋－＋

＝－＋

＝＋＋

＝＋＝0.

二、能力提升

11.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是(　　)

A.若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同

B.若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反

C.若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模

D.||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同

答案　ABD

解析　当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此A，B，D正确.

12.在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________.

答案　

解析　如图，在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，－＝＋＝＋＝.

易求得AD＝，

即||＝.

所以|－|＝.

13.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示下列向量.

(1)－；

(2)＋；

(3)－.

解　(1)－＝＝－

＝d－b；

(2)＋＝－＋－

＝b－a＋f－c；

(3)－＝＝－＝f－d.

三、创新拓展

14.如图所示，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心.

求证：＝＋＋.

证明　如图，作出△ABC外接圆的直径BD，

连接AD，CD，则＝－，DA⊥AB，DC⊥BC.

又因为AH⊥BC，CH⊥AB，

所以CH∥DA，AH∥DC.

所以四边形AHCD是平行四边形.

所以＝.

又＝－＝＋，

所以＝＋＝＋

＝＋＋.