6.3　平面向量线性运算的应用

课标要求　1.能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.2.熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.

素养要求　通过学习向量在平面几何、物理中的应用，提升直观想象、逻辑推理素养.

1.思考　在四边形ABCD中，如何用向量证明该四边形是平行四边形？

提示　证明＝.

2.填空　(1)向量在平面几何中的应用

①证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).

②求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.

③要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.

(2)向量在物理中的应用

①力向量

力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.

②速度向量

一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.

温馨提醒　用向量解平面几何问题的两种方法

 (1)向量几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.

(2)向量坐标法：对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题)，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，将几何问题中的长度、平行等问题转化为代数运算，通过代数运算解决平面几何问题.

3.做一做　若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为________.

答案　菱形

解析　由＝可知，四边形ABCD为平行四边形.又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形.

题型一　向量基底法解决平面几何问题

例1 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.

(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；

(2)证明AF，BD，CE交于一点O.

(1)解　因为＝＋＝＋，

又因为E，F都是中点，

所以＋＝＋

＝2＋2＝2.

又＝＋，

所以＋＝2＋2.

设＝s，＝t，

则有s－t＝2＋2，

即(s－2)＝(t－2).

从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，

因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.

(2)证明　要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.

由(1)可知＝＋，

＝＋＝＋＝－

＝－＝(＋)，

又＝(＋)，∴∥，

又与有公共点B，

∴B，O，D三点共线，

故AF，BD，CE交于一点.

思维升华　利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)巧转化：建立几何元素与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)找关系：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.

(3)要还原：把运算结果“翻译”成几何关系，即把向量问题还原为几何问题.

训练1 在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，＝，AD与BE交于R，证明：＝.

证明　由A，D，R三点共线，

可得＝λ＋(1－λ)

＝λ＋(1－λ).

由B，E，R三点共线，

可得＝μ＋(1－μ)

＝μ＋(1－μ)，

∴∴

∴＝＋，

∴＝－＝－.

故＝－

＝－

＝－

＝＝.

题型二　向量坐标法解决平面几何问题

例2 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.

证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).

设||＝λ(λ>0)，

则F，P，E.

所以＝，

＝，

因为||2＝＋

＝λ2－aλ＋a2，

||2＝＋

＝λ2－aλ＋a2，

所以||＝||，即PA＝EF.

思维升华　用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键，坐标法更简单.

训练2 已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为________.

答案　

解析建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，

则M(λ，2λ)，

故＝(－λ，2－2λ)，

＝(2－λ，－2λ)，

则＋＝(2－2λ，2－4λ)，

|＋|＝

＝，

当λ＝0时，|＋|取得最大值为2，当λ＝时，|＋|取得最小值为，∴|＋|∈.

题型三　平面向量在物理中的应用

例3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)

解　设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，

则＝－f2，＝－f1，＝f.

∠ECW＝180°－150°＝30°，

∠FCW＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°，

∴四边形CEWF为矩形.

∴||＝||cos 30°＝5，

||＝||cos 60°＝5.

即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.

思维升华　由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.

训练3 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.

解　依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即：v风地＝v风车＋v车地，如图，根据向量加法的平行四边形法则，可知表示向量v风地的AD是▱ACDB的对角线.因为||＝4 m，∠ACD＝30°，||＝2，

所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，

||＝||·cos 30°＝2(m/s).

所以风的实际方向是吹向正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.

[课堂小结]

1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)，利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系.

2.易错点：不能将问题转化为用向量解决，向量的运算与几何元素之间的关系没有正确转化.

一、基础达标

1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于(　　)

A.(－1，－2)    B.(1，－2)

C.(－1，2)    D.(1，2)

答案　D

解析　∵物体平衡，

∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，

∴F4＝－F1－F2－F3

＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)

＝(1，2).

2.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－3b，＝－5a－5b，那么四边形ABCD的形状是(　　)

A.矩形    B.平行四边形

C.梯形    D.以上都不对

答案　C

解析　∵＝＋＋＝－8a－6b，∴＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，

∴四边形ABCD是梯形.

3.已知点A(－1，1)，B(0，－2)，C(3，0)，D(2，3)，则四边形ABCD为(　　)

A.平行四边形    B.矩形

C.菱形    D.正方形

答案　A

解析　＝(1，－3)，＝(1，－3)，

∴＝，即AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又AB≠AD，且AB，AC，BC不满足勾股定理，故选A.

4.河水的流速为2 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)

A.10 m/s    B.2 m/s

C.4 m/s    D.12 m/s

答案　B

解析　∵v合＝v静＋v水，

且v合⊥v水，

∴|v静|＝＝＝＝2.

5.若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是(　　)

A.＋＋    B.＋＋

C.＋＋    D.3＋

答案　C

解析　A中，＋＋＝2，与不共线；

B中，＋＋＝，与不共线；

C中，＋＋＝0，与共线；

D中，点D为BC的中点，∵＝＝×(＋).

∴3＋＝＋2，与不共线.

6.已知A(7，5)，B(2，3)，C(6，－7)，则△ABC的形状是________.

答案　直角三角形

解析　AB＝＝，

BC＝＝，

AC＝＝.

∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，又AB≠BC，∴△ABC是直角三角形.

7.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，则实际风速的大小为________，方向是________风.

答案　a　西北

解析　如图，

设＝－a，

＝－2a，

∵＋＝，

∴＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速.

∵＋＝，

∴＝v－2a，

于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，

由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而△POB为等腰直角三角形.

∴PO＝PB＝a，即|v|＝a，所以实际风速是大小为a的西北风.

8.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________.

答案　(2，4)

解析　∵在梯形ABCD中，

DC＝2AB，AB∥CD，

∴＝2.

设点D的坐标为(x，y)，

则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，

∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，

即(4－x，2－y)＝(2，－2)，

∴解得

故点D的坐标为(2，4).

9.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.

解　建立如图所示的平面直角坐标系，

风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量

v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，向量v2＝(20，0)，则v＝＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)，所以|v|＝

＝20(km/h).

因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.

10.已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形.

证明　由已知得，＝(4，3)－(1，0)＝(3，3)，＝(0，2)－(2，4)＝

(－2，－2).

∵3×(－2)－3×(－2)＝0，

∴与共线.

又＝(0，2)－(1，0)＝(－1，2)，

＝(2，4)－(4，3)＝(－2，1)，

且(－1)×1－2×(－2)≠0，

∴与不共线.

∴四边形ABCD是梯形.

∵||＝＝||，

即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形.

二、能力提升

11.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　)

A.钝角三角形    B.直角三角形

C.等腰三角形    D.等边三角形

答案　AD

解析　∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，

∴||－|(－)＋(－)|＝0，

即||＝|＋|，

∴|－|＝|＋|，

由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC为矩形，

∴⊥，∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形.故选AD.

12.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________.

答案　3.

解析　以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，点P的横坐标为x，x∈[0，2]，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(x，2).

∴＝(2，2)，＝(2，－2)，＝(x，2).∵＝λ＋μ，

∴∴

∴λ＋μ＝.

令f(x)＝(0≤x≤2)，

∵f(x)在[0，2]上单调递减，

∴f(x)max＝f(0)＝3.

13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线.

(1)解　如图，延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，

所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，

＝＝(a＋b)，

＝＝b，

则＝－＝(a＋b)－a

＝(b－2a)，

＝－＝b－a＝(b－2a).

(2)证明　由(1)可知＝，因为与有公共点B，所以B，E，F三点共线.

三、创新拓展

14.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点.

求证：AR＝RT＝TC.

证明　设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b.

由于与共线，所以可设r＝n(a＋b).

因为＝－＝a－b.与共线，

所以可设＝m＝m.

因为＝＋，

所以r＝b＋m，

所以n(a＋b)＝b＋m，

即(n－m)a＋b＝0.

由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有

解得

所以＝.同理＝.

所以AR＝RT＝TC.