数学必修 第二册4.4 幂函数习题ppt课件

进阶训练3　(范围：4.4～4.6)

一、基础达标

1.已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则log3f(3)＝(　　)

A.－2   B.－1   C.1   D.2

答案　D

解析　函数y＝ax－2＋3中，令x－2＝0，

解得x＝2，此时y＝1＋3＝4，

所以定点P(2，4).

设幂函数y＝f(x)＝xα，

则2α＝4，解得α＝2.

所以f(x)＝x2，所以f(3)＝32＝9，

所以log3f(3)＝log39＝2.故选D.

2.(多选)若a>b>0，0<c<1则(　　)

A.bc<ca   B.cb>ca   C.ac>bc   D.ca>cb

答案　BC

解析　如果a＝4，b＝2，c＝0.5，不等式bc<ca显然错误，所以A错误；

因为函数y＝cx(0<c<1)是减函数，a>b>0，所以cb>ca，所以B正确，D错误；

因为函数y＝xc(x>0，0<c<1)是增函数，所以ac>bc，所以C正确.

3.已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是(　　)

A.f(a)<f(b)<f<f

B.f<f<f(b)<f(a)

C.f(a)<f(b)<f<f

D.f<f(a)<f<f(b)

答案　C

解析　因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f<f，故选C.

4.在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　)

A.④   B.③   C.②   D.①

答案　B

解析　当Δx＝0.3时，

①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；

②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；

③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；

④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.

∴k3>k2>k1>k4，故应选B.

5.设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a＞0且a≠1)在区间(0，＋∞)具有不同的单调性，则P＝(a－1)0.2与Q＝的大小关系为(　　)

A.P≤Q    B.P＝Q

C.P＞Q    D.不确定

答案　D

解析　因为f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)具有不同的单调性，所以或解得0＜a＜1或a＞2，当0＜a＜1时，P＝(a－1)＜0，Q＞1，此时P＜Q；当a＞2时，P＝(a－1)0.2＞1，Q＝＜1，此时P＞Q；所以P，Q的大小关系不确定，故选D.

6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒.

答案　e6－1

解析　设M＝tm，则有2 000ln(1＋t)＝12 000，即ln(1＋t)＝6，解得t＝e6－1.

7.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.

答案　3

解析　因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以

即解得m＝3.

8.函数y＝－2x＋1的平均变化率为________，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将减少________个单位.

答案　－2　2

解析　＝＝＝－2，

∴自变量每增加一个单位，函数值将减少2个单位.

9.已知点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x).

解　设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，

∴α＝2，即f(x)＝x2，

再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，

∴β＝－2，即g(x)＝x－2，

在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图像.如下图所示.

由图像可知：

①当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；

③当x∈(－1，0)∪(0，1)时，f(x)<g(x).

10.已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)，k∈Z，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增.

(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式.

(2)若F(x)＝2f(x)－4x＋3在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围.

解　(1)由题意知(2－k)(1＋k)>0，

解得－1<k<2.

又k∈Z，

∴k＝0或k＝1，

分别代入原函数，得f(x)＝x2.

(2)由已知得F(x)＝2x2－4x＋3.

要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，

则2a<1<a＋1，则0<a<.

∴实数a的取值范围是.

二、能力提升

11.(多选)已知幂函数f(x)的图像经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图像上任意不同的两点，以下结论正确的是(　　)

A.x1f(x1)>x2f(x2)

B.x1f(x1)<x2f(x2)

C.xf(x1)>xf(x2)

D.xf(x1)<xf(x2)

答案　BC

解析　设函数f(x)＝xα，

依题意有＝2，

所以α＝－，

因此f(x)＝x－.

令g(x)＝xf(x)＝x·x－＝x，

则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

而0<x1<x2，

所以g(x1)<g(x2)，

即x1f(x1)<x2f(x2)，故A错误，B正确；

令h(x)＝＝x－，

则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，

而0<x1<x2，

所以h(x1)>h(x2)，

即>，

于是xf(x1)>xf(x2)，故C正确，D错误.故选BC.

12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)，W2(t)分别表示A，B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________.(填序号)

①两机关节能效果一样好；

②A机关比B机关节能效果好；

③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大；

④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大.

答案　②

解析　由图可知，

当t＝0时，W1(0)>W2(0)，

当t＝t0时，W1(t0)＝W2(t0)，

所以<，

且>.

故只有②正确.

13.牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域.

(2)求羊群年增长量的最大值.

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.

解　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，

由此可得y＝kx(0<x<m).

(2)由(1)知y＝kx

＝－(x2－mx)

＝－＋.

即当x＝时，y取得最大值.

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.

因为当x＝时，ymax＝，

所以0<＋<m，

解得－2<k<2.

又因为k>0，所以0<k<2.

故k的取值范围为(0，2).

三、创新拓展

14.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为________.

答案　75

解析　由已知，得a＝a·e－50k，

∴e－k＝

设经过t1天后，一个新丸体积变为a，

则a＝a·e－kt1，

∴＝(e－k)t1＝，

∴＝，t1＝75.