高中人教B版 (2019)5.4 统计与概率的应用图片ppt课件

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第二课时　极差、方差与标准差
课标要求
1.理解极差、方差和标准差的意义和作用.2.会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题.
素养要求
通过极差、方差和标准差的求解及应用，提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　两名射击运动员在五次射击中，射中环数的平均数如果相等，该如何对两名运动员的成绩做出判断？ 提示　平均数相等，分别计算方差，方差较大的成绩不稳定.
2.填空　极差、方差与标准差 (1)极差：一组数的极差指的是这组数的________减去________所得的差.极差反映了一组数的变化范围.
最大值
最小值
a2s2
(3)标准差①定义：方差的____________称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为s＝_____________________.②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.③作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差(或方差)描述了数据相对于平均数的离散程度.
算术平方根
温馨提醒　(1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.(2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以标准差与方差在体现数据离散程度上是虽然一样的，但解决问题时一般用标准差.
3.做一做　已知样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为________.
2
解析　∵样本的平均数为1，
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
`
极差、方差、标准差的计算
题型一
例1 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
解　甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
(2)哪一组的成绩较稳定？
解 由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.由极差也可得到乙组的成绩比较稳定.
训练1 由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________________(从小到大排列).
1，1，3，3
解析　不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数，
又∵x1，x2，x3，x4为正整数，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3，
＝1，
∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得这四个数为1，1，3，3.
方差的性质
A
题型二
例2 设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为(　　) A.1＋a，4 B.1＋a，4＋a C.1，4 D.1，4＋a
且yi＝xi＋a(i＝1，2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数
训练2 若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A.8 B.15 C.16 D.32
C
解析　样本数据x1，x2，…，x10的标准差s＝8，则样本数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差s′＝2×8＝16.
题型三
数字特征的应用
例3 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如表所示：
已经计算得知两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，说明理由.
解　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些.
所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一角度来看，乙组的成绩较好.
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定.
训练3 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽10株，测得它们的株高分别为(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 (1)哪种小麦的苗长得高？
(2)哪种小麦的苗长得齐？
课堂小结
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知数据：2，4，4，6，6，6，8，8，8，8，则这10个数的标准差为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4
B
则标准差为2.
2.设甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，正确评价他们的水平是(　　) A.因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同 B.虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途 C.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途 D.虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较不稳定，忽高忽低
C
解析　主要考查了方差的实际意义.
3.(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，发生变化的数字特征是(　 　) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
BCD
解析　由于去掉一个最高分与最低分后，评委所评的9个分数从小到大排序后，中间一个数字不会改变，故中位数不变.由于最高分和最低分是极端分数，因此会影响平均数、方差和极差.
D
新数据x1＋100，x2＋100，…，x10＋100的方差
5.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是(　　) A.70，75 B.70，50 C.75，1.04 D.65，2.35
B
解析　因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变.设更正后的方差为s2，则由题意可得：
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个方差为________.
7.在某年的足球联赛中，一队每场比赛平均失球个数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球个数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，有如下结论： ①平均说来一队比二队防守技术好； ②二队比一队技术水平更稳定； ③一队有时表现差，有时表现又非常好； ④二队很少不失球. 上面说法正确的是_____________.
①②③④
解析　由一队、二队的平均值，方差知①②③④都正确.
解析　由方差的算术平方根是标准差知s2＝22＝4，
4
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(2)已知x1，x2，…，xn的标准差为s，如果a，b为常数，证明：ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
10.在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.如下是两个评判组对同一选手打分的情况. A：49，50，47，50，47，47，46，55，45，44，42，42 B：42，49，47，46，58，62，68，66，55，73，70，36 (1)求A组数的众数和B组数的中位数；
(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A与小组B哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由.
小组A，B数据的方差分别为
11.(多选)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，这5天中14时的气温数据(单位：℃)分别为甲：26，28，29，31，31；乙：28，29，30，31，32.考虑以下结论，其中能得到的正确的统计结论的编号为(　　) A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温 B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温 C.甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差 D.甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差
AD
所以s甲＞s乙.故可判断结论AD正确.
法二　甲地该月14时的气温数据分布在26 ℃和31 ℃之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28 ℃和32 ℃之间，且数据波动较小，可以判断结论AD正确.
CD
13.某工厂36名工人的年龄数据如下表：
用简单随机抽样法抽得样本为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.
14.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　) A.甲地：总体平均数为3，中位数为4 B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0 C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3
D
解析　∵平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7人，故A不正确；当总体方差大于0时，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例不超过7人，故C不正确；
则方差就超过3，∴总体平均数是2，总体方差为3时，没有数据超过7，故D正确.