数学必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用习题ppt课件

进阶训练8　(范围：6.2～6.3)

一、基础达标

1.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则的坐标是(　　)

A.    B.

C.(－8，1)    D.(8，1)

答案　A

解析　∵＝－＝(－8，1)，

∴＝.

2.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　)

A.1   B.   C.   D.

答案　D

解析　由题意易得＝＋

＝＋，

则2＝＋，

即＝＋.

所以λ＝，μ＝，

故λ＋μ＝＋＝.

3.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝(　　)

A.(－2，7)    B.(－6，21)

C.(2，－7)    D.(6，－21)

答案　B

解析　如图，依题意有

＝＝－

＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，

∴＝＋＝(1，5)＋(－3，2)

＝(－2，7)，∴＝3＝(－6，21).

4.已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　)

A.1    B.5

C.1或－5    D.－5

答案　C

解析　因为向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3).因为(a＋b)∥(a－b)，

所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0，即(m＋5)(m－1)＝0，解得m＝1或m＝－5.

5.(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)

A.＝－a－b    B.＝a＋b

C.＝－a＋b    D.＝a

答案　ABC

解析　如图，

在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；

＝＋＝a＋b，故B正确；

＝＋＝－b－a，

＝＋＝b＋×(－b－a)

＝－a＋b，故C正确；

＝＝－a，故D不正确.

6.若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)共线，则＋的值为________.

答案　－

解析　＝(2，m＋2)，＝(n＋2，2).

∵A，B，C三点共线，

∴∥，

∴2×2－(m＋2)(n＋2)＝0，

即mn＋2m＋2n＝0.

∵mn≠0，

∴＋＝－.

7.已知A(3，4)，B(－5，5)，且a＝(x－3，x2＋4x－4).若a＝，则x＝________.

答案　－5

解析　＝(－5，5)－(3，4)＝(－8，1)，

又a＝，

∴(x－3，x2＋4x－4)＝(－8，1)，

∴

解得x＝－5.

8.一艘船从点A出发，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际行驶速度的大小为4 km/h，则河水的流速的大小为________.

答案　2 km/h

解析　设河水流速的大小为x，河水流速方向与河岸平行，

则x2＋(2)2＝42，解得x＝2.

9.已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(－3，－4)，B(5，－12).

(1)求向量的坐标及||；

(2)若＝＋，＝－，求及的坐标.

解　(1)＝(5，－12)－(－3，－4)＝(8，－8)，∴||＝＝8.

(2)＝＋＝(－3，－4)＋(5，－12)＝(2，－16)，＝－

＝(－3，－4)－(5，－12)＝(－8，8).

10.已知点O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1).

(1)求证：A，B，M三点共线；

(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围.

(1)证明　∵＝λ＋(1－λ)，

∴＝λ＋－λ，－

＝λ－λ，

∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1).

又与有公共点A，

∴A，B，M三点共线.

(2)解　由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则与同向，

且||>||(如图).

∴λ>1.

∴实数λ的取值范围为(1，＋∞).

二、能力提升

11.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则下列说法正确的是(　　)

A.m＋n是定值，定值为2

B.2m＋n是定值，定值为3

C.＋是定值，定值为2

D.＋是定值，定值为3

答案　D

解析　连接AD，因为M，D，N三点共线，

所以＝λ＋(1－λ)

＝λm＋(1－λ)n.

又＝，

所以＝，

所以＝＋＝＋

＝＋－＝＋，

于是

解得＋＝3.

12.如图，在梯形ABCD中，＝2，P为线段CD上一点，且＝3，E为BC的中点，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________.

答案　

解析　易知＝，

故＝＋＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋，

整理得＝＋＋，

又＝＋＝＋

＝－，＝－，

所以2＝－＋，

即＝－＋，

所以λ1＝－，λ2＝，

所以λ1＋λ2＝－＋＝.

13.已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？

若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由.

解　存在.

由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.

因为a，b不共线，所以有

解得t＝.

故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.

三、创新拓展

14.已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线.

(1)求实数λ的值；

(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；

(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.

解　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋

(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.

因为A，E，C三点共线，

所以存在实数k，使得＝k，

即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，

得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.

因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，

所以

解得k＝－，λ＝－.

(2)＝＋＝－3e1－e2

＝(－6，－3)＋(－1，1)

＝(－7，－2).

(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.

设A(x，y)，

则＝(3－x，5－y)，

因为＝(－7，－2)，

所以

解得

即点A的坐标为(10，7).