初中数学第24章 一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系教案

24.3　一元二次方程根与系数的关系

教学目标

【知识与能力】

1.经历一元二次方程根与系数的关系的探究,体会探究过程中的化归思想.

2.了解一元二次方程根与系数的关系.

3.能够不解方程,应用根与系数的关系解决问题.

【过程与方法】

1.通过学生探究发现根与系数的关系,培养学生的观察思考、归纳概括能力和探究精神.

2.通过探究学习,让学生体会从特殊到一般,再由一般到特殊的解决问题的数学方法.

3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展推理能力,培养创新精神.

【情感态度价值观】

1.通过小组合作交流,共同探究根与系数之间的关系,培养学生的合作意识.

2.在探究根与系数的关系过程中,让学生体会事物之间的联系,激发学生的求知欲望.

3.体验教学活动充满着探索和创造,享受成功的快乐,增强自信心.

教学重难点

【教学重点】

1.一元二次方程的根与系数的关系.

2.能根据根与系数的关系解决有关问题.

【教学难点】  

探究一元二次方程的根与系数的关系的过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,比如:抛出的重物总会落下——万有引力定律(牛顿);电路中的电流、电压、电阻存在一定关系:U=IR——欧姆定律(欧姆);而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律,比如:直角三角形的三边a,b,c满足关系:a2+b2=c2——勾股定理(毕达哥拉斯),那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢?今天共同去探究,感受一次当科学家的味道.

导入二:

复习提问:

1.解一元二次方程的方法有几种?如何选择解一元二次方程的方法?

2.由因式分解法可知,方程(x-2)(x-3)=0的两根为　　　　,而方程(x-2)(x-3)=0可化为x2-5x+6=0的形式,所以方程x2-5x+6=0的两根为　　　　. 

【课件展示】

3.完成下列表格:

　　【师生活动】　学生独立完成回答,教师对学生的答案作出点评.

[设计意图]　让学生感受到数学和其他学科一样,里边有很多有价值的规律等待我们去探索,激发学生的学习兴趣和求知欲望.学生通过填表,既复习了解方程的一般方法,又为探究根与系数之间的关系做好铺垫.

二、新知构建：

一起探究一　猜想一元二次方程根与系数之间的关系

教师提出问题,学生思考:

1.观察上表,方程的两根为x1,x2,则x1+x2,x1x2与方程的系数之间有什么关系?

2.语言叙述你发现的规律;

3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,你能用式子表示你发现的规律吗?

【师生活动】　小组讨论,共同探究,教师适时引导方程两根的和与积与系数之间的关系,教师板书猜想:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=.

[设计意图]　通过小组合作交流,探究数字系数的一元二次方程中根与系数的关系,培养学生观察思考能力及合作意识,为探究一般形式的一元二次方程中根与系数的关系做好铺垫,同时体会由特殊到一般解决数学问题的思想方法.

一起探究二　验证一元二次方程根与系数之间的关系

你能用求根公式验证你的猜想吗?

思路一

【思考】

1.用求根公式求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是什么?

2.分别计算x1+x2和x1·x2的值.

3.归纳你验证得到的结论.

【师生活动】　学生独立完成后小组内交流答案,及时纠错,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书教师点评.

【课件展示】　对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=.

思路二

【师生活动】　小组合作交流,学生代表板书过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评后,课件展示正确的推导过程.

【课件展示】

根据求根公式,得x1=,x2=,

∴x1+x2=

==-,

x1·x2=·

=.

【课件展示】

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),b2-4ac≥0时,设方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=.

[设计意图]　学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程,使学生动手、动脑、动口,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,让学生经历知识的形成过程,理解和掌握一元二次方程根与系数的关系,培养学生发展推理能力和创新精神.

　　[过渡语]　我们归纳总结了一元二次方程根与系数之间的关系,让我们尝试用所得结论解决有关问题吧!

例题讲解

【课件展示】

　根据一元二次方程根与系数的关系,求下列方程两根的和与积.

(1)x2-3x-8=0;

(2)3x2+4x-7=0.

【师生活动】　学生代表板书解答过程,其他学生独立完成后,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,并强调解答过程的规范性.

解:(1)这里a=1,b=-3,c=-8,

且b2-4ac=(-3)2-4×1×(-8)=41>0,

所以x1+x2=-=3,x1·x2==-8.

(2)这里a=3,b=4,c=-7,

且b2-4ac=42-4×3×(-7)=100>0,

∴x1+x2=-,x1·x2==-.

[设计意图]　该例题是根与系数关系的直接应用,加深学生对根与系数关系的理解和掌握,通过独立完成及交流答案的过程,既培养学生独立思考问题的能力,又培养学生与他人交流的能力.

[知识拓展]　

1.根与系数之间的关系在方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根的前提下(b2-4ac≥0)才能够成立,运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.

2.利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的一组代数式的值.比如=(x1+x2)2-2x1x2,,(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2等.

三、课堂小结：

通过本节课的学习,我们学到了哪些知识?

1.一元二次方程根与系数的关系式如何推导的?

2.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c有哪些作用?

①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;

②当a≠0时,b2-4ac可判定根的情况;

③当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=-,x1x2=.

3.这节课用到了哪些数学思想和方法?