数学九年级上册24.4 一元二次方程的应用教案

24.4一元二次方程的应用（2）

教学目标

【知识与能力】

1.会根据具体问题,找到增长率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.

2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.

3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.

【过程与方法】

1.经历将实际问题抽象为方程问题的过程,探索问题中的数量关系,进一步体会数学中的建模思想.

2.培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过根据实际问题列方程,体会数学与生活息息相关.

【情感态度价值观】

1.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.

2.进一步培养学生合作的意识和自主探究的学习能力.

教学重难点

【教学重点】

列一元二次方程解增长率问题的应用题.

【教学难点】  

在实际问题中找等量关系列方程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课引入：

导入一:

复习提问:

1.解一元二次方程有哪些方法?

2.列一元一次方程解应用题有哪些步骤?

【师生活动】　学生回答,教师点评.

①审题;②设未知数;③找相等关系;④列方程;⑤解方程;⑥答.

导入二:

某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中可变成本逐年增长,已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元,第二年的可变成本为2.86万元,则可变成本每年的增长率是多少?

【师生活动】　学生独立完成后小组内交流答案,教师针对解应用题的步骤做出点评.

[设计意图]　通过复习一元二次方程的有关解法,为本节课做好铺垫,同时以增长率有关的一元一次方程引入新课,为本节课建立一元二次方程的数学模型解决增长率的实际问题打下基础,降低了本节课知识的难度,学生易于理解和掌握.

二、新知构建：

　　[过渡语]　我们刚才用一元一次方程知识解决了简单的增长率问题,今天我们继续学习和增长率有关的应用问题.

一起探究　一元二次方程解增长率问题

【课件展示】　随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率.

思路一

教师引导分析回答以下问题:

设年增长率为x,请你思考并解决下面的问题:

(1)2011年底比2010年底增加了　　　　万辆汽车,达到了　　　　万辆. 

(2)2012年底比2011年底增加了　　　　万辆汽车,达到了　　　　万辆. 

(3)根据题意,列出的方程是　　　　. 

(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,完成解答过程后交流答案,学生板书展示结果,教师点评并规范答题格式.

解:设年增长率为x,根据题意得:

15(1+x)2=21.6,

解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).

答:这个增长率为20%.

拓展提问:

如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?

学生思考,独立完成,教师补充.

思路二

【思考】

(1)基数是a,增长率为x,则第一年增长多少?增长到多少?第二年增长多少?增长到多少?

(2)本题中有哪些数量关系?

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?

(4)根据等量关系列方程并求解.

(5)如果增长率不变,2013年底,该市汽车保有量达到多少万辆?

【师生活动】　针对以上问题,小组讨论交流,共同探究,教师对疑惑较多的问题要点拨,然后小组代表板书自己的解答过程,老师进行点评,教给学生如何审题、分析题.

解:设年增长率为x,根据题意得:

15(1+x)2=21.6,

解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).

答:这个增长率为20%.

如果增长率不变,则2013年底该市汽车保有量为21.6×(1+20%)=25.92(万辆).

[设计意图]　把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流,学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力.

做一做

【课件展示】　某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少?

【思考】

(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?

(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减少的百分率)

(2)未知量之间的数量关系是什么?

(第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍)

(3)如何设未知数?

(设第一年废气减少的百分率为x,则第二年废气减少的百分率为2x)

(4)题目中的等量关系是什么?

(工业废气年排放量300万立方米减少两次=144万立方米)

(5)如何根据等量关系列出方程?

(300(1-x)(1-2x)=144)

(6)你能求解方程,写出正确答案吗?

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,再独立完成,完成后小组内交流答案,同时小组代表板书解题过程,教师帮助有困难的学生,对学生的板书进行规范和点评.

[设计意图]　该题涉及连续减少的减少率问题,为了降低学生的理解困难,将分析过程设计成小问题的形式,通过小组合作交流、自主探究,建立一元二次方程模型解决减少率问题,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时与增长率问题作比较,弄明白两者之间的区别与联系.

例题讲解

【课件展示】

　(教材49页例3)建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x(公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用)

教师引导思考:

(1)建设费用与x+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成　　　　; 

(2)内部设备费用与x2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示成　　　　; 

(3)题目中的等量关系是　　　　; 

(4)根据题意列方程得　　　　. 

【师生活动】　教师引导学生分析填空后,学生独立完成解答过程,教师点评.

【课件展示】

解:依题意,得0.6(x+2)+2x2=4.8.

整理,得10x2+3x-18=0.

解方程,得x1=1.2,x2=-1.5(不合题意,舍去).

答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.

[设计意图]　教师引导学生分析题意,难点是用代数式正确表示等量关系中的两种费用,通过对实际问题的理解,进一步体会建立方程模型的过程,提高学生的应用意识.

三、课堂小结：

1.列一元二次方程解应用题的步骤:

一审、二设、三找、四列、五解、六答.

最后要检验根是否符合实际意义.

2.平均增长率或降低率问题:

若平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2)(增长取+,降低取-).