2021学年25.3 相似三角形教学设计

25.3相似三角形

教学目标

【知识与能力】

1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系.

2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似.

3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.

【过程与方法】

1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想.

2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识.

【情感态度价值观】

1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力.

2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力.

3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点

【教学重点】

1.相似三角形的有关概念.

2.由平行判断三角形相似.

【教学难点】  

探索由平行线判定三角形相似的方法.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

一、新课导入：

导入一:

【课件展示】　欣赏图片:

[导入语]　图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知识.

导入二:

复习提问

1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系?

(能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等)

2.全等三角形有什么性质?

(全等三角形的对应边相等、对应角相等)

【师生活动】　学生独立回答,教师点评,导出新课的学习.

[设计意图]　通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫.

二、新知构建：

　　[过渡语]　全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧.

探究一　认识相似三角形

思路一

【学生活动】　自主学习教材69页,小组合作交流下列问题,并归纳总结.

【问题】

1.什么是相似三角形、相似比?

2.如何用几何语言表示相似三角形的概念?

3.如果相似比是1∶1,那么这两个三角形是什么关系?

4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是多少?

5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形的性质?

【师生活动】　学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概念及性质.

【课件展示】

1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.

几何表示:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.

2.表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.

注意:对应顶点写在对应的位置上.

3.相似比为1∶1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.

4.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是.

5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,

则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',.

思路二

教师引导学生思考并回答:

1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.

2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为:

如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',=k,即ΔABC与ΔA'B'C'相似.ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k.

3.相似三角形的表示:ΔABC与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC相似于ΔA'B'C'”.

注意:对应顶点写在对应的位置上.

4.思考:

(1)如果两个三角形的相似比是1∶1,那么这两个三角形的关系是　　　　. 

(2)ΔABC与ΔA'B'C'的相似比为k,那么ΔA'B'C'与ΔABC的相似比是　　　　. 

5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是　　　　. 

6.相似三角形的性质用几何语言表示为　　　　. 

【课件展示】

性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',.

【师生活动】　教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示,师生共同归纳.

[设计意图]　通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系.

大家谈谈:

　　[过渡语]　我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下下面的问题.

【课件展示】

1.两个直角三角形相似吗?

(不一定相似)

2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢?

(两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似)

3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系?

(全等三角形都是相似比为1∶1的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形)

【师生活动】　学生思考回答,教师点评.

[设计意图]　通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系.

例题讲解

【课件展示】

　(教材69页例)如图所示,ΔAEF∽ΔABC.

(1)若AE=3,AB=5,EF=2.4,求BC的长.

(2)求证EF∥BC.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过程.

(板书)

解:(1)∵ΔAEF∽ΔABC,

∴.

又∵AE=3,AB=5,EF=2.4,

∴BC==4.

(2)∵ΔAEF∽ΔABC,

∴∠AEF=∠B.

∴EF∥BC.

[设计意图]　通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度.

探究二　由平行线证明三角形相似

　　[过渡语]　我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢?

【课件展示】　如图所示,EF∥BC,与AB,AC(或它们的延长线)相交于点E,F.求证ΔAEF∽ΔABC.

教师引导回答问题:

(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?

∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,

(2)你能证明这些角对应相等吗?

(由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得)

(3)如何证明?

(由平行线分线段成比例的基本事实易得)

(4)你能写出ΔAEF∽ΔABC的证明过程吗?

(5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗?

(6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.

【师生活动】　学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论.

(板书)

证明:如图(1)所示,在ΔAEF和ΔABC中,

∵EF∥BC,

∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,且.

又∵∠A=∠A,

∴ΔAEF∽ΔABC.

同理可证其他两种情况.

【课件展示】　平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.

【教师活动】　教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形.

[设计意图]　通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方法.

做一做

【课件展示】　如图所示,在ΔABC中,E,F分别为AB,AC的中点.求证ΔABC∽ΔAEF.

【师生活动】　学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似.

[设计意图]　通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力.

[知识拓展]　

1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.

2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.

3.相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽ΔA″B″C″.

4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则ΔADE∽ΔABC.

三、课堂小结：

1.相似三角形的概念、表示.

2.相似三角形与全等三角形的区别和联系.

3.相似三角形定义的应用.

4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.