初中数学冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定教学设计

25.4相似三角形的判定（3）

教学目标

【知识与能力】

1.了解三边成比例的两个三角形相似判定定理的证明过程.

2.能运用相似三角形的判定定理证明三角形相似.

【过程与方法】

1.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

2.通过应用相似三角形的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.

【情感态度价值观】

1.探究相似三角形的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.

2.在相似三角形判定定理的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.

3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.教学重难点

【教学重点】

能运用三边成比例的两个三角形相似证明三角形相似.

【教学难点】  

相似三角形判定定理的证明过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

(1)相似三角形的判定定理1和2的内容是什么?

(2)用什么方法证明的判定定理1和2?

【师生活动】　学生回答问题,对学生出现的问题教师及时纠正,并强调易错点.

导入二:

学校为了改善环境,在一片空地上修建一块三角形草地,图纸如图(1)所示,完工后小明想要确定图(2)的草坪是否和图纸中的三角形相似,你能帮帮他吗?

[导入语]　根据前边的学习,我们判断三角形相似需要两个对应角相等或两边对应成比例且夹角相等,而图纸中的三角形没有角的大小,只有边的大小,我们只测量三角形草坪边的大小,能否判定三角形相似就是本节课的学习任务.

[设计意图]　通过复习相似三角形的判定方法及定理证明思路,为本节课用类比方法探究另一个判定定理做好铺垫;以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣.

二、新知构建：

　　[过渡语]　让我们一起探究,根据三角形三边之间的关系,如何判定两个三角形相似.

一起探究　三条边对应成比例的两个三角形相似

思路一

动手操作:

(1)同桌分别画一个ΔABC和ΔA'B'C',使AB=1.5cm,AC=2.5cm,BC=2cm;A'B'=3cm,A'C'=5cm,B'C'=4cm.

(2)比较ΔABC与ΔA'B'C'各个角,它们对应相等吗?这两个三角形相似吗?

【学生活动】　学生动手画图,然后通过测量三角形的内角,根据相似三角形的判定定理判定三角形相似.

(3)如果一个三角形的三边长分别是另一个三角形三边长的k倍,那么这两个三角形是否相似?

【学生活动】　学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定两个三角形相似.

(4)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形相似.你能证明这个结论吗?

【课件展示】　已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,.

求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.

教师引导分析:

(1)上节课证明两个三角形相似,如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?

(2)类比上节课的证明思路,尝试证明.

【学生活动】　学生独立完成证明过程,小组内交流答案,学生展示证明过程,教师点评,并规范证明格式.

【课件展示】　证明:如图所示,在ΔABC的边AB上截取AE=A'B',过点E作EF∥BC,交AC于点F,则ΔABC∽ΔAEF,.

在ΔA'B'C'和ΔAEF中,

∵,且AE=A'B',

∴.

又∵,

∴AF=A'C',EF=B'C'.

∴ΔAEF≌ΔA'B'C'.

∴ΔABC∽ΔA'B'C'.

(3)用语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.

【师生活动】　学生独立思考并回答,教师点评,师生共同归纳相似三角形的判定定理.

【课件展示】

相似三角形的判定定理:

三条边对应成比例的两个三角形相似.

几何语言:

如图所示,若,

则ΔABC∽ΔA'B'C'.

思路二

(1)猜想:类比SSS证明两个三角形全等,猜想:三边对应成比例的两个三角形相似.

(2)证明你的猜想.

【课件展示】　已知:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,.

求证:ΔABC∽ΔA'B'C'.

教师引导:

类比上节课证明相似三角形的判定定理的证明思路完成证明.

【师生活动】　学生独立完成证明过程,小组内交流答案,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示点评,规范学生书写证明过程.

(证明过程同思路一)

(3)归纳总结:相似三角形的判定定理及几何语言表示.

【课件展示】　相似三角形的判定定理:

三条边对应成比例的两个三角形相似.

几何语言:

如图所示,若,

则ΔABC∽ΔA'B'C'.

[设计意图]　通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.

例题讲解

　　[过渡语]　我们学习了相似三角形的判定方法,让我们一起完成下面的证明.

【课件展示】

　(教材80页例3)已知:如图所示,在RtΔABC与RtΔA'B'C'中,∠B=∠B'=90°,.

求证:RtΔABC∽RtΔA'B'C'.

教师引导分析:由于三边对应成比例的两个三角形相似,而已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设=k,利用勾股定理分别求出BC,B'C'的值,进而求得=k,从而结论得证.

【学生活动】　学生在教师的引导下独立完成,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示后教师点评.

【课件展示】

证明:设=k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.

根据勾股定理,得BC==k=kB'C'.

∴.

∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'.

追加提问:

1.你能归纳判定两个直角三角形相似的条件吗?

(一个锐角相等或两边对应成比例)

2.我们可以用几种方法证明三角形相似?

(平行线法、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等,三边对应成比例)

【师生活动】　小组内合作交流,师生共同归纳结论.

【课件展示】　直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

[设计意图]　学生在教师的引导下思考后合作交流,类比全等直角三角形的判定,探索出相似直角三角形的判定方法,学生亲身经历知识的形成过程,体会数学的严谨性,提高分析问题的能力,使学生在探索中提升数学思维.

[知识拓展]　

1.当已知条件中有三边时,可考虑用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.

2.在应用本课时所学的相似三角形的判定定理时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.

三、课堂小结：

1.相似三角形的判定定理:

三条边对应成比例的两个三角形相似.

2.证明三角形相似的方法:平行线法、判定定理1,2,3.

3.证明直角三角形相似的方法:直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.