初中数学冀教版九年级上册25.6 相似三角形的应用教案设计

25.6相似三角形的应用

教学目标

【知识与能力】

1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度或距离.

2.在具体情境中建立数学模型,并综合运用数学知识解决简单实际问题.

【过程与方法】

1.通过利用相似三角形解决一些生活实际问题,发展数学应用意识.

2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论,提高合作意识.

【情感态度价值观】

1.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.

2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.

3.积极参与课堂活动,在活动中使学生积累经验,激发学生学习数学的热情与兴趣.

教学重难点

【教学重点】

利用相似三角形的性质解决测量问题.

【教学难点】  

　将实际问题建立成数学模型,应用数学知识解决问题.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.什么是相似三角形及相似比?

2.判定三角形相似的方法有哪些?

3.相似三角形的性质是什么?

【师生活动】　学生回答问题,教师点评.

导入二:

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约为230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.

在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”.这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?

【师生活动】　学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的.初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题.

[设计意图]　通过复习旧知识,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.

二、新知构建：

　　[过渡语]　相似三角形的知识有着广泛的应用,在测量高度或距离方面的作用尤为突出.今天我们一起探究如何用相似三角形解决生活中的测量问题.

例题讲解

【课件展示】

　(教材88页例1)如图所示,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的,往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,它的外径为a,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若,CD=b,则这个零件的内径为多少,零件的壁厚x又是多少?(用含a,b,m的代数式表示)

思路一

教师引导分析:

1.通过阅读题目,将实际问题可以转化为什么数学问题?

在ΔOAB和ΔOCD中,,CD=b,求AB和x

2.由已知,能得到两个三角形相似吗?

(根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得ΔOCD和ΔOAB相似)

3.根据三角形相似,能得到和内径AB有关的比例式吗?

4.根据以上比例式,能否求出内径AB的长?根据图形能否求出壁厚x的值?

【师生活动】　学生在教师提出的问题的引导下思考回答,独立完成解答过程,学生代表板书,教师点评,并规范解题格式.

(板书)

解:∵,∠COD=∠AOB,

∴ΔCDO∽ΔABO.

∴.

又∵CD=b,

∴AB=mb,x=.

即这个零件的内径为mb,壁厚为.

思路二

教师引导学生将实际问题转化为数学问题:

在ΔOAB和ΔOCD中,,CD=b,求AB和x.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题思路,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生代表板书解题过程,教师点评,并规范解题格式.

(板书)

同思路一.

[设计意图]　在教师提出的问题的引导下,将实际问题转化为数学问题,体会应用相似三角形的判定和性质解决不能直接测量的物体的宽度,提高学生分析问题、解决问题的能力及数学应用意识,培养严谨的解题能力.

一起探究　测量旗杆的高度

　　[过渡语]　由相似三角形的判定和性质,我们可以测量零件的内径,同样利用相似三角形的性质,我们可以测量旗杆的高度.

探究一:

【课件展示】　如图所示,在学校操场上,高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度,那么怎样测量和计算旗杆的高呢?请你设计一个测量高度的方案,说明理由.

【师生活动】　给学生足够的时间,让学生小组讨论解决方法,画出图形,设计测量方案,小组代表根据图形叙述测量的方法思路,教师恰当地引导,并对方案进行评价,师生共同归纳测量的方法.

1.升降旗上有绳子,测量升降旗上的绳子长度算出旗杆的高度.

2.根据太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质求出旗杆的高度.

3.在旗杆和人之间水平放一面平面镜,移动平面镜的位置,使人在平面镜中能看到旗杆顶端,根据入射角等于反射角,利用相似三角形求出旗杆的高度.

4.将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用相似三角形求出旗杆的高.

……

用相似三角形可以求旗杆的高度,常用的方法有:

【课件展示图形】

1.同一时刻物高、影长及太阳光构成直角三角形.

2.利用平面镜构造直角三角形.

3.观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.

探究二:

【课件展示】

思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行,请说明其中的道理.若标杆CD=2m,标杆影子BD=3m,旗杆影子BO=12m,求旗杆的高.

大刚设计的方案

如图所示,在阳光下的某一时刻,将一根标杆CD竖立在旗杆影子上,使标杆的影子BD落在旗杆影子BO上,且它们影子的顶端重合.这时,量一量CD,BD,BO的长,可得旗杆AO的长为AO=.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同探究大刚设计的方案的可行性,教师巡视中帮助有困难的学生,学生独立完成求旗杆的高度,并展示解答过程,教师评价并规范解题格式.

【课件展示】

解:由题意可得∠BDC=∠O=90°,

∴CD∥AO,

∴ΔBCD∽ΔBAO,

∴,

∴,

∴AO=8.

∴旗杆AO的高为8m.

[设计意图]　解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,给学生足够的时间和空间,通过小组合作交流,思考测旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,通过评价大刚设计的方案,学生在教师的引导下进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.

做一做

　　[过渡语]　我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用相似三角形的性质解决其他实际问题呢?

【课件展示】

1.如图所示,这是大家都做过的“小孔成像”实验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为l.具有“小孔”的纸板放在什么位置时,蜡烛火焰的高度AB是它的像B'A'的高度的一半?

【师生活动】　学生独立完成解答后,小组内交流答案,教师对学生的展示点评,规范解题格式,归纳用相似三角形解决实际问题的思路.

2.(导入二问题)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.

如图所示,木杆EF长为2m,它的影长FD长为4m,测得OA长为274m,求金字塔的高度BO.

教师引导分析:

(1)图中存在相似三角形吗?

(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得ΔBAO∽ΔEDF)

(2)如何测得OA的长?

(ΔAMN是等腰三角形,金字塔底面是正方形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长的一半的和)

(3)写出你的证明过程.

【师生活动】　学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.

解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.

又∠AOB=∠DFE=90°,

∴ΔABO∽ΔDEF.

∴.

∴BO==137(m).

因此金字塔的高度为137m.

[设计意图]　通过解决不能直接测量的物体的高度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.

[知识拓展]　利用相似三角形进行测量的一般步骤:

(1)利用平行线、标杆等构成相似三角形;

(2)测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;

(3)画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;

(4)检验并得出答案.

三、课堂小结：

本节课我们学习应用相似三角形的性质测量计算物体的高度,根据题意画出图形,建立数学模型,利用平行、垂直等构造相似三角形,要分清图中哪两个三角形相似,利用相似三角形的对应边成比例进行计算.