冀教版九年级上册26.1 锐角三角函数教学设计及反思

26.1锐角三角函数（2）

教学目标

【知识与能力】

1.经历正弦、余弦概念的形成过程,理解三角函数的定义,并能根据正弦、余弦的概念进行计算.

2.经历探索30°,45°,60°角的正弦、余弦值的过程,能够进行有关推理,并能进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

【过程与方法】

1.结合正切概念探索锐角正弦、余弦概念的形成,培养学生类比推理的能力及归纳总结的能力.

2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

3.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,学会综合运用数学知识解决问题的能力.

【情感态度价值观】

1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证问题,提高数学思维能力.

3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.

教学重难点

【教学重点】

　1.理解正弦、余弦的概念,并会求锐角的正弦值、余弦值.

2.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.

【教学难点】  

　类比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30°,45°,60°角的正弦、余弦值的推导过程.课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律?

2.什么是正切?如何求一个角的正切?

3.含30°,45°的直角三角形有哪些性质?

4.你还记得我们探究正切概念时所得的30°,45°角的正切吗?

导入二:

观察两个不同大小的三角板,当角是30°,45°,60°时,它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律?谈谈你的看法.

　　[过渡语]　类比探究正切的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的吗?这就是我们这节课要学习的内容.

[设计意图]　通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的对边与斜边、邻边与斜边的比值,观察、归纳规律,很自然地引出本节课的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.

二、新知构建：

共同探究一　直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值

思路一

【课件展示】　如图所示,在RtΔAB1C1和RtΔAB2C2中,∠C1=∠C2=90°.

【思考】

(1)RtΔAB1C1与RtΔAB2C2之间有什么关系?

(RtΔAB1C1∽RtΔAB2C2)

(2)与,与之间各有什么关系?

(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?

(4)根据以上思考,你得到什么结论?

(直角三角形中∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的)

(5)如果改变∠A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.

【师生活动】　教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.

【课件展示】

1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.

2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.

思路二

【课件展示】　如图所示,∠BAC为任意给定的一个锐角,B1,B2为射线AB上的任意两点,过点B1,B2分别作AC的垂线B1C1,B2C2,垂足分别为C1,C2.

【探究】　类比上节课探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”的方法,请你探究“在直角三角形中,当锐角确定时,这个角的对边与斜边、邻边与斜边的比也是确定的”.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展示进行点评.

【课件展示】

1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.

2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.

[设计意图]　在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.

形成概念

　　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是确定的,我们把确定值定义为什么呢?

【课件展示】　在RtΔABC中,∠C=90°.锐角A的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值.∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=.

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.

【思考】

(1)当锐角α的大小变化时,sinα,cosα,tanα是否变化?

(2)对于锐角α的每一个确定的值,sinα,cosα和tanα是否有唯一的值和它对应?

(3)sinα,cosα和tanα是不是α的函数?

【师生活动】　学生思考回答,教师引导点评.

归纳:

我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.

为方便起见,今后将(sinα)2,(cosα)2,(tanα)2分别记作sin2α,cos2α,tan2α.

大家谈谈:

如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.

(1)∠B的正弦与余弦分别是哪两边的比值?

∠B的正弦是,∠B的余弦是

(2)由a<c,b<c,说一说sinA和cosA的值与“1”的关系.

(sinA<1,cosA<1,sin2A+cos2A=1)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,对于“∠A的正弦、余弦的平方和等于1”这一结论,学生不容易想到,教师要引导学生发现结论,并对学生的展示作出点评.

[设计意图]　教师根据上边的总结验证,类比正切概念的形成,引导学生认识理解正弦、余弦的概念,让学生体会类比思想在数学中的应用,培养学生归纳总结能力.通过大家谈谈,加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握,提高学生发现问题、解决问题的能力.

共同探究二　特殊角的三角函数值

　　[过渡语]　类比上节课的30°,45°,60°角的正切值的探究方法,你能得到30°,45°,60°角的三角函数值吗?

思路一

动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.

【师生活动】　学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一个边长,然后计算各三角函数值.对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.

【课件展示】

　　【思考】　观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?

【师生活动】　学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说的有理,就给予肯定和鼓励.

结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,由此可知sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α).

(3)0<sinA<1,0<cosA<1.

思路二

【思考】　如图所示.

(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边和斜边之间有什么关系?

(2)设30°角的对边为a,你能用a表示三角形的各边长吗?

(3)用三角函数的定义,分别求出30°,60°角的各三角函数值.

(4)含有45°角的直角三角形有什么特点?

(5)设等腰直角三角形的腰长为a,你能用a表示直角三角形的斜边吗?

(6)用三角函数的定义,求出45°角的各三角函数值.

【师生活动】　学生逐一回答教师提出的问题,通过计算得出30°,45°,60°角的各三角函数值.师生共同完成下表:

【课件展示】

　　【思考】

(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切值怎样变化?

(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?

(3)根据(2)猜想正确结论.

【师生活动】　学生小组讨论,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就给予肯定和鼓励.

结论:(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°.

(3)sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α).

[设计意图]　学生通过画图,根据特殊直角三角形三边之间的关系及三角函数的定义,计算完成特殊角的三角函数值的推导,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.

例题讲解

【课件展示】

　(教材107页例2)求下列各式的值:

(1)2sin30°+3tan30°-tan45°;

(2)(sin45°)2+tan60°sin60°.

教师引导思考:

(1)cos60°,sin60°,cos45°,sin45°,tan45°各等于什么值?

(2)将各三角函数值代入,化简计算各代数式的值.

【师生活动】　教师引导学生记忆各特殊角的三角函数值,将各特殊角的三角函数值代入各式计算即可,学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书解答过程,教师进行点评,并强调计算过程中的易错点.

解:(1)2sin30°+3tan30°-tan45°

=2×+3×-1=.

(2)(sin45°)2+tan60°sin60°

==2.

　(教材107页例3)如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.求sinA,cosA,tanA的值.

【思考】

(1)根据各三角函数的定义,要求sinA,cosA的值,必须求出哪个边的值?

(2)怎样求出AB的值?

【师生活动】　学生思考回答问题后,独立完成解答过程,小组交流结果,小组代表板书过程.

【课件展示】

解:∵AB==13,

∴sinA=,cosA=,tanA=.

[设计意图]　在教师的引导下,学生独立思考完成后,小组交流答案,让学生熟记特殊角的三角函数值,并能够根据概念求出直角三角形中锐角的各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数的概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.

[知识拓展]　

1.正弦和余弦都是一个比值,没有单位.

2.正弦值和余弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.

3.sinA,cosA是一个整体符号,不能写成sin·A,cos·A.

4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.

5.在RtΔABC中,∠C=90°,由于sinA=,cosA=,sinB=,cosB=,tanA=,tanB=,因此,sinA=cosB,cosA=sinB,tanA·tanB=1.

6.在RtΔABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,∵sinA=,cosA=,tanA=,∴sin2A+cos2A=1,tanA=.

三、课堂小结：

1.在直角三角形中,当锐角A的度数确定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个确定值.

2.正弦、余弦的定义:

3.三角函数的定义:

锐角α的正弦,余弦,正切统称为α的三角函数.

4.特殊角的三角函数值: