初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形教案

26.3解直角三角形

教学目标

【知识与能力】

1.梳理、归纳直角三角形中三条边、两锐角、边角之间的关系.

2.理解解直角三角形的概念,会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

【过程与方法】

1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移的能力.

3.通过规范学生的解题书写格式,培养学生严谨的学习态度和科学的求学精神.

【情感态度价值观】

1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.

2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.

教学重难点

【教学重点】

　理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.

【教学难点】  

理解并掌握解直角三角形的方法.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件展示】(教材104页轮船航行问题)

如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)

【师生活动】　学生在教师的引导下,将实际问题转化为数学问题,教师对学生的回答进行点评并完善,然后学生独立完成解答过程,教师规范书写格式.

(在RtΔABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,求BC长度)

【课件展示】

在RtΔABC中,

已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5km,

所以tan∠BAC=,

所以BC=AC·tan∠BAC=5×tan55°≈5×1.4281≈7.14(km).

所以,当轮船行驶到灯塔的正南方时,轮船距灯塔约7.14km.

　　[过渡语]　将上述实际问题转化成数学问题是:在直角三角形中,已知一条直角边和一个锐角,求另一条直角边.这样的数学问题就是这节课我们要学习的内容.

导入二:

复习提问:

1.在RtΔABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.

【课件展示】

(1)三边之间的关系:

a2+b2=c2(勾股定理);

(2)两锐角之间的关系:

∠A+∠B=90°;

(3)边角之间的关系:

sinA=,cosA=,tanA=.

2.回忆30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值.

　　[过渡语]　在直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形的其他元素,什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.

[设计意图]　以实际问题导入新课,通过将实际问题转化为数学问题,让学生体会数学来源于生活,培养学生数学建模思想,激发学生学习兴趣.通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.

二、新知构建：

一、形成概念

【思考】　如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.

(1)已知直角三角形中的一个元素(除直角外),能求其他元素吗?

在RtΔABC中,∠C=90°,若∠B=30°,你能求ΔABC的各边长吗?

在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,你能求ΔABC的锐角和其他边长吗?

(2)已知直角三角形中的两个元素(除直角外),有几种可能的情况?

(有三种:一边和一锐角、两边、两锐角)

(3)已知直角三角形的两个元素(除直角外),能否求其他元素?

在RtΔABC中,∠C=90°,若∠B=30°,AC=2,求∠A的度数及BC,AB的长.

在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和BC的长.

在RtΔABC中,∠C=90°,若∠A=30°,∠B=60°,你能求出AC,BC,AB的长吗?

(4)直角三角形中已知两个元素(除直角外),可以求其他元素的情况有几种?哪几种?

(有两种:一边和一锐角、两边)

【师生活动】　在教师提出的问题的引导下,给学生足够的时间进行小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生在回答问题过程中注意解题方法的多样性.

【课件展示】

(1)在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.

(2)解直角三角形,只有两种:

一、已知两条边;二、已知一条边和一个锐角.

追问:你能归纳解直角三角形的类型和步骤吗?

【师生活动】　学生小组内合作交流,共同归纳解题步骤,教师对学生的回答进行点评,并边解释边展示课件.

【课件展示】

　　[设计意图]　学生在教师问题的引导下思考分析,小组合作交流归纳结论,让学生经历概念的形成过程,理解解直角三角形的概念,体会从特殊到一般的数学思想方法,提高学生分析问题的能力和归纳总结的能力.

二、例题讲解

　(教材115页例1)在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001)

思路一

【思考】

(1)要解这个直角三角形,需要求出哪些元素?

(需要求∠B的大小及BC,AB的长)

(2)∠A与∠B的大小关系是什么?

(∠A与∠B互余)

(3)你能根据∠A的正切求出线段BC的长吗?

(4)你能求出线段AB的长吗?你还有其他方法求AB的长吗?

(勾股定理或∠A的正弦、余弦或∠B的正弦、余弦)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,完成解答过程,教师对学生的板书进行点评,并规范学生的书写过程.

解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,

∵tanA=,

∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6745=4.047.

∵cosA=,

∴AB=≈≈7.238.

思路二

教师引导分析:

由∠A=34°,可得∠B=　　　　=　　　　;由∠A=34°及它的邻边AC=6,根据　　　　可得BC=　　　　=　　　　;由∠A=34°及它的邻边AC=6,根据　　　　可得AB=　　　　=　　　　. 

追问:你还有其他方法求AB的长吗?

【师生活动】　在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.

解:∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,

∵tanA=,

∴BC=AC·tanA=AC·tan34°≈6×0.6745=4.047.

∵cosA=,

∴AB=≈≈7.238.

　(教材115页例2)如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=15,BC=8.解这个直角三角形.(角度精确到1″)

教师引导分析:

(1)已知线段AC,BC分别是∠A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?

(2)已知∠A的三角函数值可以求∠A的度数吗?

(3)已知∠A的度数怎样求∠B的度数?

(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?

【学生活动】　思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.

【课件展示】

解:∵tanA=,

∴∠A≈28°4'20″.

∴∠B=90°-∠A≈90°-28°4'20″=61°55'40″.

∵AB2=AC2+BC2=152+82=289,

∴AB=17.

[设计意图]　在理解和掌握解直角三角形的思路和方法的基础上,通过例题进一步训练学生灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并让学生体会选用恰当的边角关系式,可以简化计算过程.在教师的引导下,通过小组合作交流解决例题,可以提高学生分析问题、解决问题的能力,同时通过教师规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.

[知识拓展]　

1.直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.

2.运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:

(1)锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A.

(2)三边之间的常用变形:a=,b=,c=.

(3)边角之间的常用变形:a=c·sinA,b=c·cosA,a=b·tanA,a=c·cosB,b=c·sinB,b=a·tanB.

3.虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘勿除”的原则.

4.选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.

5.遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.

三、课堂小结：

1.解直角三角形的概念.

2.直角三角形中除直角外五个元素之间的关系:

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理);

(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;

(3)边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=.

3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:

a.已知两边

(1)斜边,一直角边(如c,a):b=;由sinA=求∠A;∠B=90°-∠A.

(2)两直角边(a,b):c=;由tanA=求∠A;∠B=90°-∠A.

b.已知一边一锐角

(1)斜边,一锐角(如c,∠A):∠B=90°-∠A;由sinA=,得a=c·sinA;由cosA=,得b=c·cosA.

(2)一直角边,一锐角(如a,∠A):∠B=90°-∠A;由tanA=,得b=;由sinA=,得c=.