冀教版九年级上册26.4 解直角三角形的应用教案设计

26.4解直角三角形的应用

教学目标

【知识与能力】

1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.

2.经历用三角函数解决问题的过程,能够把实际问题转化为数学问题,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.

3.能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.

4.通过在具体情境中,从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单的实际问题.

【过程与方法】

1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,培养学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高解决问题的能力,体会数形结合思想的应用.

3.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.

【情感态度价值观】

1.通过学生经历根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.

2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.

3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度.

教学重难点

【教学重点】

　1.用三角函数有关知识解决仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等实际问题.

2.能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.

【教学难点】  

正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.

(1)三边a,b,c有什么关系?

(2)两锐角∠A,∠B有怎样的关系?

(3)边与角之间有怎样的关系?

2.解直角三角形应具备怎样的条件?

3.什么是仰角、俯角、方位角?

【师生活动】　学生回答问题,教师点评归纳.

导入二:

如图所示,小明在距旗杆4.5m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1m)

【思考】

(1)要求旗杆的高,实际是要求图中哪条线段的长度?图中有哪些已知条件?

(2)在RtΔAOC中,如何求线段AC的长度?

(3)在RtΔBOC中,如何求线段BC的长度?

【师生活动】　学生思考后独立完成,小组内交流答案,互相检查错误,教师在巡视中帮助有困难的学生,对学生的解答进行点评,然后导出新课.

[设计意图]　通过复习解直角三角形的有关知识,为学习本节课的内容做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,使学生感受数学应用的意义.

二、新知构建：

　　[过渡语]　新课导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!

例题讲解

【课件展示】

　(教材117页例1)如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能?

思路一

教师引导分析:

(1)如何判断有没有进入危险区的可能?

(点C到直线AB的距离与10海里比较大小)

(2)要求点C到直线AB的距离,需要作什么辅助线?

(过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D)

(3)要求CD的长,CD在哪个直角三角形中?

(RtΔBCD和RtΔACD中)

(4)RtΔBCD和RtΔACD中,有什么已知条件?

(RtΔBCD中,∠CBD=60°;RtΔACD中,∠CAD=30°)

(5)解决几何计算问题时,常用什么数学思想方法?

(方程思想)

(6)设CD=x,则直角三角形中的边长能否用x表示?

(7)题目中的等量关系是什么?你能列方程求解吗?

(8)根据以上分析,你能写出解答过程吗?

【师生活动】　学生在教师提出的问题的引导下,思考回答,师生共同分析解题思路,学生独立完成解答过程,教师在巡视过程中及时辅导,鼓励学生从不同的角度思考问题,最后展示学生的解答过程,教师规范书写过程,强调方程思想在数学中的应用.

【课件展示】

解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,

在RtΔBCD中,tan∠CBD=tan60°=.

若设CD=x,则BD=x.

在RtΔACD中,∠CAD=30°,

所以tan∠CAD=tan30°=,

即AD=x.

因为AD-BD=AB,AB=30×=20,

所以x-x=20,解得x=10.

因为10<10,所以这艘渔船继续向东航行,不会进入危险区.

思路二

【教师活动】　教师引导学生要判断会不会进入危险区,需要作辅助线,构造直角三角形.

【学生活动】　根据题意画出图形,思考解题思路和方法.

【教师活动】　引导学生用方程思想解决几何中的求线段的长度问题.

【学生活动】　独立思考后,小组合作交流解题思路,完成解题过程,小组代表展示过程.

【教师活动】　教师在巡视过程中,帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并规范解题过程,强调解决实际问题的关键.

【课件展示】

同思路一.

[设计意图]　通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想、建模思想和方程思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.

认识有关概念

【课件展示】　如图所示,通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),坡面与水平面的夹角α叫做坡角.

【思考】

坡度i与坡角α之间具有什么关系?

【师生活动】　学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.

【课件展示】

　(教材118页例2)如图所示,铁路路基的横断面为四边形ABCD,其中,BC∥AD,∠A=∠D,根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精确到1').

教师引导分析:

(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.

(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.

(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的长,从而求出底AD的长.

(4)在RtΔABE中,由坡角和坡度之间的关系可求出坡角.

【师生活动】　教师引导学生分析,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师进行点评.

【课件展示】

解:如图所示,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.

在四边形BEFC中,

∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°,

∴四边形BEFC为矩形.

∴BC=EF,BE=CF.

在RtΔABE和RtΔDCF中,

∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,

∴RtΔABE≌RtΔDCF.

∴AE=DF.

在RtΔABE中,

tanα=,BE=4,

∴α≈38°39',AE=5.

∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.

即路基下底的宽为20m,坡角约为38°39'.

追问:

你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?

【师生活动】　学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题思路和方法.

归纳:

(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)得到实际问题的答案.

[设计意图]　学生在教师的引导下,通过独立思考和小组合作交流,利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力,提高学生的数学思维及解题能力.

做一做

【课件展示】　如图所示,某水库大坝的横断面是四边形ABCD,DC∥AB,坝顶宽CD=3m,斜坡AD=16m,坝高为8m,斜坡BC的坡度为.求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB(结果精确到0.01m).

【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,同时规范学生的书写过程.

[设计意图]　通过做一做,使学生进一步体会运用解直角三角形知识解决坡度问题的过程,培养学生建模思想及将实际问题转化为数学问题的能力,提高学生分析问题、解决问题的能力.

[知识拓展]　

1.解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.

2.坡度也叫坡比,即i=,一般写成1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).

3.坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα.

4.坡角越大,坡度越大,坡面越陡.

三、课堂小结：

解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:

(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)得到实际问题的答案.