2021学年27.1 反比例函数教案

27.1 反比例函数

教学目标

【知识与能力】

1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.

【过程与方法】

1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.

2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

【情感态度价值观】

1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.

2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

教学重难点

【教学重点】

1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.

2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【教学难点】  

经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课引入：

导入一:

【课件展示】　如图所示,当电路中的电压一定时.

(1)怎样用电阻R表示电流I?

(2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?

(电流I随着R的增大而减小)

(3)变量I是R的函数吗?为什么?

(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)

[设计意图]　由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.

导入二:

【课件展示】　同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.

在速度v,时间t与路程s之间满足:

(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?

(s=vt,是正比例函数关系)

(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?

(s=vt,是正比例函数关系)

(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?

【思考】　这个函数是不是我们前边学过的函数?

[导入语]　问题(1)(2)中的函数是我们学过的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.

[设计意图]　通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.

导入三:

复习提问:

(1)什么是函数?什么是一次函数?

(2)学习一次函数的基本思路是什么?

【课件展示】　以往研究函数的基本思路:

[导入语]　函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.

[设计意图]　通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.

二、新知构建：

　　[过渡语]　若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?这就是本节课要学习的内容.

一、反比例函数的概念

思路一

【课件展示】

1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh=　　　　,用h表示S的函数表达式为　　　　. 

2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt=　　　　,用t表示v的函数表达式为　　　　. 

3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为　　　　. 

【学生活动】　独立完成填空,小组内交流答案.

1.15700　S=

2.10000　v=

3.y=

教师引导学生思考:

(1)每个事例中的两个变量是什么?

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?

(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?

(4)请再举出几个具有这种特征的例子.

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.

[设计意图]　通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.

　　[过渡语]　刚才同学们总结的函数关系式,不是我们学过的函数类型,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!

观察前面的三个函数关系式,思考:

(1)这三个函数是一次函数吗?

(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?

(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

(4)你能给这类函数下一个定义吗?

【师生活动】　学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.

教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.

总结:

【课件展示】　一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.

在反比例函数y=中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.

【思考】

(1)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?

(2)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?

(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?

【师生活动】　学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:

(1)反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.

(2)反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.

(3)反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.

[设计意图]　通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.

思路二

【课件展示】

出示下列几个问题:

1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh=　　　　,用h表示S的函数表达式为　　　　. 

2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt=　　　　,用t表示v的函数表达式为　　　　. 

3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为　　　　. 

4.已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)的函数表达式为　　　　. 

【学生活动】　独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.

1.15700　S=

2.10000　v=

3.y=

4.S=

教师引导学生思考:

(1)每个事例中的中两个变量是什么?

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?

(3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?

(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.

[设计意图]　问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.

　　[过渡语]　刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!

1.反比例函数的一般形式.

【课件展示】

思考下列问题:

(1)这四个函数都是一次函数吗?

(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?

(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

(4)你能给这类函数下一个定义吗?

问题提示:通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.

总结:

【课件展示】　一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.

2.理解反比例函数的概念.

问题1

反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?

(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)

问题2

反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?

(提示:都是不能为0的实数)

问题3

反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?

(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.

[设计意图]　通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.

二、例题讲解

　　[过渡语]　我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.

【课件展示】

　下列函数:①y=;②y=;③y=;④y=;⑤xy=2;⑥y=.其中是反比例函数的是　　　　　　　　　　(填序号),它们的比例系数k分别是　　　　　　　　. 

〔解析〕　按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.

〔答案〕　①②④⑤　5,0.4,,2

　若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为　　　　. 

【师生活动】　学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.

〔解析〕　根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:①常数k≠0;②自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.

[设计意图]　通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点.

　(教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.

(1)y与x互为相反数.

(2)y与x互为负倒数.

(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).

【师生活动】　学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.

解:(1)因为y+x=0,即y=-x,

所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.

(2)因为xy=-1,即y=,

所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.

(3)因为2xy=a,即y=,

所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.

[设计意图]　通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.

　(教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.

(1)写出这个反比例函数的表达式.

(2)当x=-2时,求y的值.

〔解析〕　类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.

【师生活动】　师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.

解:(1)设y=.

把x=4,y=6代入y=,得k=24.

所以这个反比例函数的表达式为y=.

(2)当x=-2时,y==-12.

[设计意图]　通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.

[知识拓展]　

1.反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.

2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.

三、课堂小结：

1.反比例函数的概念:

一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.

2.反比例函数满足的条件:

(1)自变量的指数是-1;

(2)比例系数不为0.

3.反比例函数的三种表示形式:y=;xy=k;y=kx-1.

4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.