初中数学冀教版九年级上册第27章 反比例函数27.1 反比例函数教案及反思

27.2 反比例函数的图像与性质（1）

教学目标

【知识与能力】

1.会用描点法画出反比例函数y= 的图像.

2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.

【过程与方法】

1.经历画反比例函数的图像并观察函数图像的过程,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

2.经历画反比例函数图像的探究过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.

【情感态度价值观】

1.经历观察、思考、交流等数学活动,获得探索数学知识和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.

2.在数学学习过程中,体验学习数学的成功感,领悟和感受数学美,发现学习的乐趣.

教学重难点

【教学重点】

用描点法画反比例函数的图像.

【教学难点】  

探究反比例函数的图像特点的过程.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.以前学习一次函数时,用什么思路和方法研究的?

(先根据函数解析式画出函数的图像,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)

2.一次函数的图像是什么?

(直线)

3.画函数图像的基本步骤是什么?

(列表、描点、连线)

4.什么是待定系数法?如何用待定系数法求一次函数的解析式?

【师生活动】　学生思考回答,教师对学生的答案进行点评.

导入二:

思考并回答下列问题:

1.点(2,3)在正比例函数y=kx的图像上,你能求出这个正比例函数的表达式吗?

将点(2,3)代入y=kx,得k=,所以函数表达式为y=x

2.判断点(1,2)是否在正比例函数y=2x的图像上?点(-1,-2),(3,6)呢?你是如何判定的?

(点(1,2)在函数y=2x的图像上;点(-1,-2),(3,6)也在函数y=2x的图像上;将点的坐标代入函数解析式,满足函数解析式,所以点在函数的图像上)

教师归纳:判定点是否在函数图像上,将点的坐标代入函数解析式,判断是否满足函数解析式即可.

[设计意图]　通过复习画函数图像的基本步骤、判断点是否在函数图像上导入新课,为本节课的学习做好铺垫,通过复习研究一次函数的基本思路和方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度,激发学生学习本节课的兴趣.

二、新知构建：

　　[过渡语]　这节课我们共同学习画反比例函数的图像.

探究活动　描点法画反比例函数的图像

活动一:画反比例函数y=的图像.

思路一

教师引导思考:

(1)该函数中自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?

(2)画函数图像列表时,取哪些x的值使函数图像完整、准确?

(3)在课前准备的平面直角坐标系下描点.

(师生共同完成列表)

(4)如何用平滑的曲线连接各点?

(5)从左到右连线时,图像与x轴、y轴有没有交点?为什么?

(6)仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数y=的图像吗?

【课件展示】

(1)列表:

　　(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.

(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数y=的图像.

【师生活动】　教师引导,学生思考回答,并按照共同完成的表格数据画出函数图像,教师巡视过程中发现画图像时出现的典型错误,点拨画图像时的易错点.教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量x、函数值y的取值范围可得函数图像与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图像时与画一次函数时不同,坐标轴把图像分成两部分.

[设计意图]　在教师提出的问题的引导下,师生合作,经历用描点法画函数图像的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图像的本质,经历知识的形成过程,进一步体会数形结合思想.

思路二

任务要求:按照画函数图像的步骤,在课前准备的平面直角坐标系下,画出函数y=的图像.

【师生活动】　学生独立完成列表、描点、连线整个画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后再展示典型画图错误.

【课件展示】

(1)列表:

　　教师强调:在x的取值范围内列出函数对应值表,取值不能太少,也不能只取正值.

(2)描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.

教师强调:描点时横纵坐标易混淆.

(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到反比例函数y=的图像.

教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图像时,不能将左右两个图像连接起来.

追问:

1.观察画出的反比例函数y=的图像,它与坐标轴有交点吗?为什么?

2.仅凭两个点的坐标,能画出反比例函数y=的图像吗?

【师生活动】　学生观察图像思考后,小组合作交流,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答进行点评.

[设计意图]　通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图像的过程,进一步了解用描点的方法画图像的基本步骤,培养了学生动手操作能力,经历了知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生的合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程,加深了学生对画函数图像的理解和认识.

活动二:画出反比例函数y=的图像.

【师生活动】　学生在课前准备的平面直角坐标系中独立完成画图,小组内交流所画图像是否正确,教师课件展示正确图像,强调画图像时的易错点.

　　[过渡语]　一次函数的图像是一条直线,那么反比例函数的图像是什么呢?

思考:

比较反比例函数y=与y=的图像,指出它们的共同特征.

(图像都是由两部分组成,分别位于两个不同的象限,且关于原点对称,两部分在单个象限内增减性一致等)

【师生活动】　学生观察所画出的两个图像,指出共同特征,教师点评,课件展示双曲线的定义.

【课件展示】　反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成,这样的曲线叫做双曲线.

[设计意图]　通过学生独立完成画反比例函数图像,巩固画函数图像的步骤,通过观察思考两个反比例函数图像的共同特征,为后边探究反比例函数性质做好铺垫.

例题讲解

　(教材132页例1)已知点P(-6,8)在反比例函数y=的图像上.

(1)求这个反比例函数的表达式.

(2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函数的图像上.

【思考】

1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么?

(函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上)

2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入?

(反比例函数表达式中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可)

3.如何判断点是否在反比例函数图像上?

(将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上)

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,给学生足够的时间思考归纳,并对学生的回答进行点评归纳.完成思考归纳后,学生独立完成解答并板书,教师规范书写格式.

解:(1)把点P(-6,8)的坐标代入y=,得8=.

解得k=-48.

所以这个反比例函数的表达式为y=.

(2)当x=4时,y==-12.

当x=2时,y==-24≠24.

所以,点M(4,-12)在这个反比例函数的图像上,点N(2,24)不在这个反比例函数的图像上.

[设计意图]　通过例题加深学生对反比例函数表达式和图像之间关系的认识,是数形结合思想方法的深入应用,让学生感悟由“数”到“形”,又由“形”到“数”的过程,体会数形结合思想在数学中的应用;学生在教师的引导下逐步思考解决问题,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.

[知识拓展]　

1.反比例函数的图像是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.

2.反比例函数y=(k≠0)的图像的两个分支关于原点对称.

3.反比例函数的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x≠0,y≠0.

三、课堂小结：

1.画反比例函数图像的步骤及注意事项.

2.反比例函数的图像是两条曲线,它们关于原点对称.

3.反比例函数y=与y=的图像特征.

4.待定系数法求反比例函数表达式.