初中数学冀教版九年级上册28.3 圆心角和圆周角教学设计及反思

28.3圆心角和圆周角(1)

教学目标

【知识与能力】

1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系及推论.

2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明.

【过程与方法】

经历探索弧、弦、圆心角关系及其结论的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,发展学生的数学思考能力.

【情感态度价值观】

1.通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动,发展推理能力以及概括问题的能力,激发学生的学习兴趣.

2.在教学过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,并与同伴进行交流,提高学生合作意识,体验学习的快乐.

教学重难点

【教学重点】

理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系并利用其解决相关问题.

【教学难点】  

圆心角、弧、弦之间关系中的“在同圆或等圆”条件的理解及关系的证明.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.圆是不是中心对称图形?对称中心是什么?

(圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心)

2.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起,绕圆心转动其中一个圆,你发现什么现象?

(把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形与原图形重合,即圆有旋转不变性)

【师生活动】　学生动手操作,思考回答,教师点评.

导入二:

【课件展示】

欣赏动画:折扇的收拢和展开.

观察在这个过程中哪些弧重合?哪些弦重合?哪些角重合?引出课题.

[导入语]　在折扇的收拢和展开的过程中,这些弧、弦所对的角是圆心角,它与这些弧、弦之间有什么数量关系呢?这就是我们这节课要探索的内容.

[设计意图]　通过旋转课前准备的纸片,轻松获得圆的旋转不变性,为本节课的定理的证明做好铺垫;运用多媒体形象直观地展现了折扇中蕴涵的圆心角、弧、弦之间的关系,引入课题顺理成章,动画演示激发了学生的学习兴趣,并让学生体会到数学来源于生活.

二、新知构建：

一、圆心角定义

　　[过渡语]　什么是圆心角呢?我们一起来归纳概念.

归纳概念:

观察导入里折扇收拢过程中,这些重合的角有什么特征?

【师生活动】　教师引导圆心、半径与角之间的关系,学生归纳出特征以后给出圆心角的概念.

【课件展示】

圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.

【思考】

1.如图所示,哪些角是圆心角?哪些角不是圆心角?

(1)和(4)所示的∠AOB为☉O的圆心角,(2)和(3)所示的∠APB不是☉O的圆心角.

【师生活动】　学生观察回答,教师点评,强调圆心角的特征.

2.如图所示,图中有几个圆心角?分别是什么?

(三个,分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC)

3.图中的圆心角所对的弧、弦分别是什么?

【师生活动】　学生回答,教师点评.

二、圆心角、弦、弧之间的关系

　　[过渡语]　通过观察我们看到,圆的每个圆心角都对应一条弦和一条弧.相等的两个圆心角所对应的两条弦之间以及两条弧之间具有怎样的关系呢?

【课件展示】　如图所示,在☉O中,∠AOB=∠COD.

(1)猜想弦AB,CD以及,之间各有怎样的关系;

(2)请用图形的旋转说明你的猜想.

思路一

动手操作:

在课前准备的圆形纸片上画出∠AOB旋转到∠COD的图.

1.将∠AOB旋转到∠COD的位置,它能否与∠AOB完全重合?

2.如果能重合,你会发现哪些等量关系?

3.你能证明这些结论吗?

4.在两个等圆中,如果圆心角∠AOB=∠A'O'B',如图所示,你能否得到相同的结论?

5.你能用语言叙述上面的命题吗?

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师帮助有困难的学生完成思考过程,学生展示,教师点评,师生共同归纳结论.

【课件展示】　设∠AOC=α,将∠AOB顺时针旋转α,则AO与CO重合,BO与DO重合.

∴AB与CD重合,与重合.

∴AB=CD,.

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.(板书)

思路二

动手操作(如图所示):

1.在课前准备的两个圆形纸片上分别作相等的∠AOB和∠A'O'B'.(O与O'是两个圆的圆心)

要求:在画∠AOB和∠A'OB'时,要使OB相对于OA的方向与O'B'相对于O'A'的方向一致.

2.将两个圆重合在一起,将其中一个圆旋转一定的角度,使OA与O'A'重合.

观察思考:

1.通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?

2.如果在同一个圆中满足两个圆心角∠AOB=∠A'OB'相等,如图所示,上述结论是否正确?

3.你能证明你的结论吗?

4.你能用语言叙述上面的命题吗?

【师生活动】　学生操作、小组内合作交流,归纳出结论,边操作边展示,教师进行点评,课件展示结论.

【课件展示】

将∠AOB和绕圆心O旋转,使射线OA与OA'重合.

∵∠AOB=∠A'OB',∴射线OB与OB'重合.

又OA=OA',OB=OB',

∴点A与A'重合,点B与B'重合,

因此,与重合,AB与A'B'重合.即,AB=A'B'.

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等.(板书)

[设计意图]　让学生通过动手操作、观察、猜想、证明、归纳得出圆心角、弦、弧之间的关系的定理,让学生亲自经历定理的形成过程,培养学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力.

大家谈谈:

【课件展示】

【思考】

1.在圆心角性质定理中,为什么要说“在同圆或等圆中”?能不能去掉?

2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,能得到什么结论?

3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,能得到什么结论?

4.在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,那么其他两组量是否相等?

【师生活动】　学生小组讨论,回答后教师点评,总结.

【课件展示】

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等.

即:在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.

填空:如图所示,AB,CD是☉O的两条弦.

(1)如果AB=CD,那么　　　　,　　　　. 

(2)如果,那么　　　　,　　　　. 

(3)如果∠AOB=∠COD,那么　　　　,　　　　. 

【师生活动】　学生通过观察图形,口答填空,教师点评.

[设计意图]　学生通过小组合作学习,用类比的方法得到圆心角定理的推论,培养学生分析问题能力及合作精神.通过填空,及时运用所学知识解决问题,培养学生数学应用意识和解决问题的能力,同时让学生体会把数学语言向几何语言的转化.

三、例题讲解

【课件展示】

　(教材154页例1)如图所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且.求证CM=DN.

思路一

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师点评,规范书写格式.

证明:如图所示,连接OC,OD.

∵,即,

∴.

∴∠AOC=∠BOD.

在Rt△CMO和Rt△DNO中,

∵CM⊥AB,DN⊥AB,

∴∠CMO=∠DNO=90°.

又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD,

∴Rt△CMO≌Rt△DNO.

∴CM=DN.

思路二

教师引导思考:

1.与有公共部分,则可得哪两段弧相等?

()

2.由可得哪些角相等?

(∠AOC=∠BOD)

3.要证明CM=DN,可通过证明哪两个三角形全等?

(Rt△CMO≌Rt△DNO)

4.用什么判定方法可以证明这两个三角形全等?

(AAS)

5.你能写出证明过程吗?

【师生活动】　学生在教师的引导下回答问题,归纳解题思路,独立完成证明过程,教师对学生的展示点评,规范学生的书写格式.

(板书同思路一)

[设计意图]　通过例题分析,让学生掌握并能灵活运用所学知识点解决问题,培养学生正确应用所学知识的能力,增强应用意识,同时规范学生书写格式,培养学生严谨的学习态度,达到巩固知识的目的.

[知识拓展]　

1.圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立.

2.利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.

3.圆心角的度数与所对弧的度数相等.

三、课堂小结：

1.圆心角概念:顶点在圆心的角.

2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等.

3.利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.