2021学年28.3 圆心角和圆周角教案及反思

28.3圆心角和圆周角(3)

教学目标

【知识与能力】

1.掌握圆周角定理的另一个推论.

2.理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.

3.掌握圆内接四边形的性质,并会用此性质进行有关的计算和证明.

【过程与方法】

1.探索同弧所对的圆周角相等,通过引导学生添加合理的辅助线,培养学生的创造力.

2.通过圆内接四边形的性质的探究,培养学生观察、分析、概括的能力.

3.在探索过程中注重培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,进一步提高学生的思维能力.

【情感态度价值观】

1.充分发挥学生的主体作用,养成善于合作交流、勇于探索、自主学习的好习惯,激发学生的探究的热情.

2.通过引导学生观察图形,发现探究结论,激发学生的好奇心和求知欲,体验成功的快乐,建立学习的自信心.

3.通过探索圆内接四边形性质及应用,渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.

教学重难点

【教学重点】

同弧所对的圆周角相等、圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质.

【教学难点】  

同弧所对的圆周角相等、圆内接四边形性质的探究过程及应用.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.什么是圆心角、圆周角?

2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系?

3.直径所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦是直径吗?

【师生活动】　学生回答,教师点评后,导出新课.

导入二:

【课件展示】　足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图所示,甲、乙两名运动员分别在C,D两处,他们争论不休,都说在自己所在的位置对球门AB的张角大,如果你是教练,请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大,为什么?

　　[过渡语]　通过这节课的学习,我们将能够理论说明甲、乙两人谁说的正确.

[设计意图]　通过复习圆周角定理及推论,巩固与圆周角有关的知识,做好新旧知识之间的衔接,为本节课新知识的学习做铺垫.通过生活实际问题情境的创设,提出与本节课有关的问题,让学生体会数学与生活密切相关,激发好奇心和求知欲.

二、新知构建：

一、同弧所对的圆周角

　　[过渡语]　通过上节课的学习,我们知道,在圆上,同弧所对的圆周角有很多,每两个圆周角之间有什么关系呢?

【课件展示】　如图所示,∠ACB与∠ADB分别为☉O上同一条弧AB所对的两个圆周角.

(1)∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系?

(2)试证明你的猜想.

【师生活动】　学生观察图形,做出猜想,独立思考、写出证明过程后,小组合作交流答案,在学生思考过程中,教师可以引导学生把问题和圆周角定理联系起来,得到辅助线的作法,降低学生思考的难度,最后教师对学生的展示点评.

解:(1)∠ACB=∠ADB.

(2)证明如下:连接OA,OB,如图所示,

∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,

∴∠ACB=∠ADB.

结论:

同弧所对的圆周角相等.(板书)

[设计意图]　通过观察、思考、猜想、证明得到圆周角定理的推论,把直观猜想和理性思考相结合,让学生体会解决问题的全过程,提高学生数学分析能力.

【课件展示】

(课前导入二)足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图所示,甲、乙两名运动员分别在C,D两处,他们争论不休,都说在自己所在的位置对球门AB的张角大,如果你是教练,请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大,为什么?

【师生活动】　学生思考回答,教师点评.针对学生的接受能力,可以拓展:若在圆内一点射门,在圆上还是在圆内射门较好?

[设计意图]　与课前导入首尾呼应,用数学知识解决实际问题,感受数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛.

二、认识概念

　　[过渡语]　我们解决了和圆有关的角的问题,今天让我们一起学习和圆有关的图形——圆内接四边形吧!

自主学习教材第159页圆内接四边形概念.

【师生活动】　学生自主学习后,小组合作交流,解决疑问,学生展示,教师点评归纳.

【课件展示】　四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.

如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,☉O为四边形ABCD的外接圆.

[设计意图]　学生自主学习后通过小组合作交流,掌握圆内接四边形基本概念的学习,培养学生自主学习的能力和合作精神.

三、圆内接四边形的性质

【思考】　圆内接四边形的4个角之间有什么关系?

思路一

教师引导操作、归纳:

1.在圆内画圆不同的内接四边形ABCD,用量角器分别度量一组对角的和.

2.观察所得数据,你发现了什么?

3.做出猜想:圆内接四边形的对角互补.

4.你能证明自己的猜想吗?

【师生活动】　教师引导学生画出图形、写出已知、求证,学生思考后,小组内合作交流,对证明思路有困难的学生,教师及时引导思考,探究圆周角之间的关系,可以转化为探究圆心角之间的关系,学生独立完成证明过程,小组代表板书,教师点评,并规范书写过程.

【课件展示】

如图(1)所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形.求证∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.

证明:如图(2)所示,连接OB,OD.

∵和所对的圆心角之和为360°,

∠BCD和∠BAD分别为和所对的圆周角,

∴∠BCD+∠BAD=180°.

同理可证,∠ABC+∠ADC=180°.

结论:

圆内接四边形的对角互补.(板书)

思路二

教师引导观察思考:

【课件展示】　如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形.

(1)和所对的圆心角之和等于多少度?∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系?

(360°;∠ABC+∠ADC=180°)

(2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系?

(∠BAD+∠BCD=180°)

(3)你的猜想是什么?

(圆内接四边形的对角互补)

(4)你能证明你的猜想吗?

【课件展示】

如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形.求证∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.

【师生活动】　学生在教师的引导下思考回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评,并规范书写格式.

【课件展示】　证明过程同思路一.

结论:

圆内接四边形的对角互补.(板书)

[设计意图]　在教师的引导下,通过层层深入分析已知条件,由圆周角和圆心角之间的关系,探究出圆内接四边形性质,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时培养学生将语言叙述转化为几何语言的能力,以及严谨的学习态度.

四、例题讲解

【课件展示】

　(教材160页例3)如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE为四边形ABCD的一个外角.求证∠DCE=∠BAD.

【师生活动】　学生独立思考,小组内交流证明思路后,独立完成解答过程,小组代表板书,师生共同点评、归纳.

(板书)

证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,

∴∠BAD+∠BCD=180°.

∵∠BCD+∠DCE=180°,

∴∠DCE=∠BAD.

[设计意图]　通过完成例题的证明,体会圆内接四边形的性质的应用,培养学生的应用意识,同时证明了“圆内接四边形的外角等于它的内对角”这一性质.

[知识拓展]　

1.圆周角定理包含两个独立的条件,可以分开使用,即“同弧或等弧所对的圆周角相等”以及“在同圆或等圆中,同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.

2.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.

3.圆内接四边形的外角等于它的内对角.

4.圆内接四边形性质是解决有关角的计算和证明常用的结论.

三、课堂小结：

1.同弧所对的圆周角相等.

2.圆内接四边形的有关概念.

3.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.