初中数学冀教版九年级上册27.2 反比例函数的图像和性质教学设计

27.2 反比例函数的图像与性质（2）

教学目标

【知识与能力】

1.能根据反比例函数y= 的图像理解和掌握反比例函数的性质.

2.能运用反比例函数的性质解决有关问题.

【过程与方法】

1.通过观察反比例函数的图像探究反比例函数的性质,感受反比例函数表达式与图像之间的联系,体会数形结合思想的魅力.

2.引导学生类比一次函数的研究方法,探究反比例函数的图像和性质,培养学生的类比思想和迁移能力.

3.通过引导学生正确地对函数图像进行观察、分析和抽象概括,培养学生的观察能力和抽象概括能力,增强学生探究问题的本领.

【情感态度价值观】

1.在动手操作的过程中,体会学习数学的乐趣,养成勤于动手、勤于思考、勇于探索的习惯.

2.在探究活动中,培养学生严谨的学习态度和勇于探索的精神,通过应用反比例函数的性质解决有关问题,增强学生的自信,培养学生的学习兴趣.

3.经历观察、思考、分析、交流等学习过程,提高学生数学学习能力及合作精神,逐步提高学生分析问题、解决问题的能力.

教学重难点

【教学重点】

探究反比例函数的性质,能灵活运用反比例函数的图像与性质解决问题.

【教学难点】  

灵活运用反比例函数的图像与性质解决问题.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

复习提问:

1.反比例函数的图像是什么形状的?它有什么特征?

(两条曲线;反比例函数图像与x轴、y轴没有交点,两条曲线关于原点对称等)

2.反比例函数y=的图像位于哪几个象限?反比例函数y=的图像呢?

(第一、三象限;第二、四象限)

3.你能说出一次函数的所有性质是什么吗?

(一次函数的增减性、所经过象限等)

【师生活动】　学生思考回答,教师点评补充.

　　[过渡语]　上节课我们通过画反比例函数图像了解了反比例函数的一些性质,类比一次函数的性质,反比例函数是否还有其他性质呢?这就是我们这节课共同探究的内容.

导入二:

【课件展示】　长方体的体积为50cm3,它的底面积S(单位:cm2)与高h(单位:cm)之间满足的函数关系是什么?当它的高h增加时,它的底面积S将怎样变化?

【师生活动】　学生思考回答,并观察到该反比例函数中S随h的增大而减小,教师引出课题.

[设计意图]　复习上节课反比例函数图像的形状及简单特征,对本节课的学习起到承上启下的作用,降低了学生学习本节课的难度.以生活实际问题导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣,同时通过观察思考问题中底面积S与高h之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图像的增减性.

二、新知构建：

　　[过渡语]　这节课我们继续研究反比例函数的图像与性质,应用反比例函数的图像和性质能解决哪些问题?让我们一起去探究吧!

共同探究　反比例函数的图像与性质

活动一:

【课件展示】　观察上节课我们画出的反比例函数y=与y=的图像及表达式,探究下列问题:

　　【师生活动】　学生观察两个函数图像,独立思考完成填空,小组内交流答案,教师巡视时帮助有困难的学生,对学生的回答进行点评归纳.

活动二:

动手操作:

画出反比例函数y=和y=的图像.

【思考】

指出反比例函数y=和y=的图像所在象限,并说明y的值随x的值的变化而变化的情况.

【师生活动】　学生独立完成画函数图像的过程及思考,小组内交流答案,教师对学生的回答作出点评.

[设计意图]　通过学生动手操作、观察思考、分析交流等数学活动,借助函数图像直观地归纳出反比例函数图像的位置及y随x的变化规律,教师还可以引导学生通过观察对应表或分析函数表达式进行认识,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,同时培养学生观察、分析、思考的能力.

　　[过渡语]　我们通过观察特殊反比例函数y=与y=及y=与y=的图像,得到了它们的性质,对于一般反比例函数y=,它有哪些性质呢?

思路一

观察所画的函数图像,学生在教师的引导下思考回答:

(1)反比例函数图像的形状是什么?

(双曲线)

(2)反比例函数图像无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?反比例函数图像关于原点O对称吗?

(函数图像与x轴、y轴没有交点,关于原点O对称)

(3)函数图像在哪个象限内?函数表达式中谁决定函数图像的位置?

(当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限)

(4)观察函数图像,在每个象限内随着x的增大,y如何变化?函数表达式中谁决定函数图像的增减性?

(当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大)

【师生活动】　学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.

共同归纳总结:

【课件展示】　一般地,反比例函数y=(k≠0)的图像是双曲线,它具有以下性质:

1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小;

2.当k<0时,它的图像位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而增大;

3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;

4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.

[设计意图]　通过教师设计的问题,引导学生由浅入深地思考,使学生在探究函数的性质的过程中有明确的方向和目的,降低学生学习新知识的难度,培养学生观察、分析及归纳总结的能力,进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的数学方法.

思路二

类比以前研究的一次函数的方法,根据所列表格、函数表达式、所画函数图像,你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多?

【师生活动】　观察所画的四个函数图像后独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图像形状、增减性、对称性等多个角度观察思考,学生展示后,教师点评,师生共同归纳函数的性质.

共同总结:

一般地,反比例函数y=(k≠0)的图像是双曲线,它具有以下性质:

1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小;

2.当k<0时,它的图像位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而增大;

3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;

4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.

　　[设计意图]　通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生的合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法——类比,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.

例题讲解

　(教材135页例2)反比例函数y=的图像如图所示.

(1)判断k为正数还是负数.

(2)如果A(-3,y1)和B(-1,y2)为这个函数图像上的两点,那么y1与y2的大小关系是怎样的?

【师生活动】　学生独立思考后完成解答过程,小组内交流答案,对有疑问的学生,组长和老师积极帮助,教师鼓励学生多角度思考比较函数值的大小,鼓励学生一题多解,对学生的回答点评后课件展示答案,规范学生的解答过程.

【课件展示】

解:(1)因为反比例函数y=的图像在第一、三象限,

所以k>0.

(2)由k>0可知,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小.

∵-3<-1,

∴y1>y2.

[设计意图]　通过观察函数图像的位置及增减性,判断比例系数k的正负及比较图像上点的纵坐标的大小,培养学生的读图能力和分析问题的能力,再次体会数形结合思想的重要应用,同时培养独立思考、解决问题的能力.

　如图所示,点A在反比例函数y=(x>0)的图像上,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?

教师引导回答问题:

(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?

(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间是否有等量关系?

(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?

(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?

【师生活动】　学生独立思考后,小组交流,教师帮助有困难的学生,并对学生的展示作出评价.

解:设点A的坐标为(x,y),则xy=3.

∴S矩形OBAC=xy=3.

拓展思考:

(1)若点A在反比例函数y=(x<0)的图像上,矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系?

(2)如图所示,若点A是反比例函数y=(k≠0)图像上任意一点呢?

(3)若连接OA,则△AOB与△AOC的面积又有怎样的关系?

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答进行点评,师生共同归纳结论.

结论:

反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:

S矩形OBAC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO=|k|.

[设计意图]　通过探究比例系数k的几何意义,进一步运用反比例函数的图像和性质解决问题,培养学生观察、分析图像,从图像中获取信息的能力.通过挖掘反比例函数表达式与面积之间的数量关系,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时对不同象限内点的讨论,让学生感受数学学习的严谨性,体会由特殊到一般的数学方法.

[知识拓展]　

1.反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.

2.当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限;当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限.

3.反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”.当k>0时,在每一个象限内,y随着x的增大而减小,但不能笼统地说:当k>0时,y随着x的增大而减小.同样,当k<0时,在每一个象限内,y随着x的增大而增大,也不能笼统地说:当k<0时,y随着x的增大而增大.

4.过双曲线y=(k≠0)上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线,这一点与垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|,所构成的三角形的面积为S△=|k|.

三、课堂小结：

1.反比例函数y=的图像和性质:

当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而增大.

2.反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义.