2021-2022学年黑龙江省哈师大青冈实验中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年黑龙江省哈师大青冈实验中学高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知(1-i)2z=3+2i，则z=( )A. -1-32i B. -1+32i C. -32+i D. -32-i向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为( )A. ±(-12,12) B. (-12,12) C. (12,-12) D. (-22,22)正方形ABCD的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的面积是( )A. 82cm2 B. 8cm2 C. 42cm2 D. 2cm2交通锥是一种交通隔离警戒设施，可近似看成一个圆锥．如图，某交通锥的高为70cm，底面半径为20cm，则该圆锥体交通锥的体积为( )A. 28000πcm3 B. 56000πcm3 C. 28000π3cm3 D. 56000π3cm3有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据，y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1,2,…,n)，c为非零常数，则( )A. 两组样本数据的样本方差相同 B. 两组样本数据的样本众数相同C. 两组样本数据的样本平均数相同 D. 两组样本数据的样本中位数相同把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A. 对立事件 B. 必然事件C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件已知三角形的三边满足条件a2-(b+c)2bc=-1，则∠A=( )A. 120° B. 45° C. 60° D. 30°骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP⋅BD的最大值为( )A. 3 B. 3+32 C. 3+3 D. 33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知复数z=14+2i，则( )A. z的实部是15 B. z的虚部是110C. z的共轭复数为15+110i D. |z|=510已知向量a=(-1,2),b=(1,m)，则( )A. 若a与b垂直，则m=12 B. 若a//b，则m的值为-2C. 若|a|=|b|，则m=2 D. 若m=3，则a与b的夹角为45°如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中( )A. AE//CDB. CH//BEC. DG⊥BHD. BG⊥DE设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=16B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1C. 若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则P(AB-)=19D. 若P(A-)=13，P(B-)=14，且P(A-B)=14，则A，B是独立事件第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）葫芦岛市2021年5月份前十天最高气温(单位：℃)分别为21，19，31，28，34，30，15，22，25，26，则这十天最高气温的第60百分位数为______．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为2，则正确的序号是______．(a)BF⊥平面EAB；(b)AB与PF所成角为45°；(c)该二十四等边体的体积为203；(d)该二十四等边体外接球的表面积为8π．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=30°，b=12，若△ABC有两解，写出a的一个可能的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）如图所示，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值和样本的众数．(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的师生中抽取10人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少大？(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测．(1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB．(1)求A角的值；(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求a-cb的取值范围．已知四棱锥P-ABCD满足：四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2，E为PA的中点．(1)证明：PC//平面BDE；(2)求直线PC和平面ABCD所成角的正切值．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止，(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．【解答】解：因为(1-i)2z=3+2i，所以z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=(3+2i)i(-2i)⋅i=-2+3i2=-1+32i．故选：B． 2.【答案】B 【解析】解：向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为a⋅b|a|2⋅a=-1+2(-1)2+12⋅(-1,1)=(-12,12)，故选：B．由投影向量的定义直接求解即可．本题考查了投影向量的定义，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积=22：1，又∵正方形ABCD的边长为2cm，∴正方形ABCD的面积为4cm2，原图形的面积S=82cm2，故选：A．由已知中正方形ABCD的边长为2cm，我们易得直观图的面积为4cm2，又由它是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，可以根据原几何图形的面积：直观图的面积=22：1，快速的计算出答案．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中原几何图形的面积：直观图的面积=22：1，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．4.【答案】C 【解析】解：V=13πr2h=13⋅π⋅400⋅70=28000π3cm3．故选：C．用圆锥的体积计算公式V=13Sh即可求解．本题考查了圆锥的体积计算公式，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：对于A，样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，两组数据的波动性相同，所以标准差相同，选项A正确．对于B，设样本数据x1，x2，…，xn的众数是B，则新样本数据y1，y2，…，yn的众数是B+c，众数不同，选项B错误．对于C，设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为x-，则新样本数据y1，y2，…，yn的平均数是x-+c，平均数不同，选项C错误；对于D，设样本数据x1，x2，…，xn的中位数为A，则新样本数据y1，y2，…，yn的中位数是A+c，中位数不同，选项D错误；故选：A．根据两组样本数据的特征，判断两组样本数据的波动性相同，得出它们的方差、标准差相同．本题考查了样本数据的数字特征判断问题，是基础题．6.【答案】C 【解析】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件，∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C．由题意可知事件甲分得红牌”与乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．7.【答案】A 【解析】解：由a2-(b+c)2bc=-1，知b2+c2-a2=-bc，由余弦定理知，cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，因为A∈(0°,180°)，所以A=120°．故选：A．将已知等式化简整理，再结合余弦定理，即可得解．本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于拔高题．根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．【解答】解：据题意：圆D(后轮)的半径均为12，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A(-2,0)，B(-32,32)，C(-12,32).圆D的方程为x2+y2=14，可设P(12cosα,12sinα)，所以AP=(12cosα+2,12sinα)，BD=(32,-32).故AP⋅BD=34cosα-34sinα+3=32(32cosα-12sinα)+3=32cos(α+π6)+3≤3+32．故选：B． 9.【答案】ACD 【解析】解：∵复数z=14+2i=4-2i(4+2i)(4-2i)=4-2i42+22=15-110i，∴z的实部是15，虚部是-110，z的共轭复数为15+110i，|z|=510．故选：ACD．利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出结论．本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】ABD 【解析】解：对于A，∵a=(-1,2),b=(1,m)，a与b垂直，∴-1×1+2m=0，解得m=12，故A正确，对于B，∵a//b，∴-1×m=2×1，解得m=-2，故B正确，对于C，∵|a|=|b|，∴(-1)2+22=12+m2，解得m=±2，故C错误，对于D，若m=3，则a=(-1,2)，b=(1,3)，a与b的夹角为a⋅b|a|⋅|b|=55⋅10=22，即a与b的夹角为45°，故D正确．故选：ABD．对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，对于B，结合向量平行的性质，即可求解，对于C，结合向量模公式，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查平面数量积的应用，以及向量垂直，平行的性质，属于中档题．11.【答案】BCD 【解析】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由EH= //BC，可得CH//BE，故选项B正确；正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG//AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．故选：BCD．把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解．本题考查了折叠问题，考查了空间线线之间位置的关系，属于中档题，但是难度不大．12.【答案】BC 【解析】解：对于A：A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+13=56，故A错误；对于B：A，B是对立事件，由于对立事件为必然事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故B正确；对于C：A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，所以P(B-)=1-23=13，所以P(AB-)=P(AB-)=13×13=19，故C正确；对于D：若A，B是独立事件，则：P(A-)=13，P(B-)=14，P(B)=34，所以P(A-B)=14，但是反之不一定成立，故D错误．故选：BC．直接利用互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】27 【解析】解：葫芦岛市2021年5月份前十天最高气温(单位：℃)从小到大为：15，19，21，22，25，26，28，30，31，34，10×60%=6，∴26+282=27．故答案为：27．：葫芦岛市2021年5月份前十天最高气温(单位：℃)从小到大排列，由10×60%=6，得这十天最高气温的第60百分位数是第6，7两个数的平均数．本题考查百分位数的运算，考查百分位数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】14 【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用列举法求出表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有3个，据此能估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．【解答】解：经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：137，271，436，共3个，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P=312=14．故答案为：14． 15.【答案】cd 【解析】解：将该二十四等边体补形为正方体(如图所示)，因为该二十四等边体的所有棱长都为2，所以正方体的棱长为2，对于a：正方体的体对角线RS⊥平面EAB，而RS与BF是异面直线，所以BF⊥平面EAB不成立，即选项a错误；对于b：因为PF//AH，所以∠ABH是AB与PF所成角或其补角，在△ABH中，AH=AB=2,BH2=12+22+12=6，因为AH2+AB2≠BH2，所以∠ABH≠45°，即选项b错误；对于c：因为该二十四等边体的所有棱长都为2，所以正方体的棱长为2，所以该二十四等边体的体积为V=23-(13×13)×8=203，即选项c正确；对于d：设该二十四等边体外接球的半径为R，该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心，正方体六个表面的面积都为1，所以R2=12+(2×22)=2，所以其表面积为S=4πR2=8π，即选项d正确．故答案为：cd．将该二十四等边体补形为正方体，利用RS与BF是异面直线判定选项A错误，利用PF//AH和△ABH的形状判定选项B错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项C正确，利用该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式判定选项D正确．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．16.【答案】7 【解析】解：如图，由于满足条件的△ABC有两个，则bsinA75，所以食堂不需要内部整顿．【解析】(1)根据小长方形面积之和等于1，求得a值，根据众数定义直接求解即可；(2)求出每组所占的频率之比，求得[60,80)所占的比例，乘以总人数即可；(3)根据频率分布直方图求平均数，再和75比较即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是中档题．19.【答案】解：(1)(本题答案不唯一，其他方法可以根据参考答案)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取一组，若呈阳性，则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组．第二步，将Ⅰ组的样本随机分为2组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组．第三步，将Ⅱ组样本进行检验，若呈阳性，再任取这两人中的一人进行检验即可得知患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检验，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次．先将Ⅲ组样本进行检验，若呈阳性，再逐一检验，2次即可得知患病人员，因此共检测4次；若呈阴性，则将Ⅱ组样本任取一人检验，即可得知患病人员，因此，共检测3次．综上所述，最多只需做4次检测．(2)将A，B，C，D，E按要求分成两组，(AB,CDE)，(AC,BDE)，(AD,BCE)，(AE,BCD)，(BC,ADE)，(BD,ACE)，(BE,ACD)，(CD,ABE)，(CE,ABD)，(DE,ABC)，共有10种情况，其中A，B两人在同一组的共有4种，所以A，B两人在同一组的概率为410=25．【解析】本题考查了统计概率的应用，学生的数学运算能力，分析能力，属于基础题．(1)根据统计概率的抽样方法，我们可以对样本进行分组，即可求解；(2)根据古典概型的概率计算公式，将分成两组的总体情况，进行列举，即可求解．20.【答案】解：(1)由于bsinB+C2=asinB，整理得sinB⋅cosA2=sinAsinB，故sinA2=12，由于0