2021-2022学年上海市虹口区华东师大一附中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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绝密★启用前2021-2022学年上海市虹口区华东师大一附中高一（下）期末数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）以下说法正确的是(    )A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角B. 已知a，b是两个非零向量，则“存在实数λ，使得b=λa”是“|a+b|=|a|-|b|”的充分必要条件C. 已知复数z1，z2(z1≠z2,z2≠0)在复平面内对应的点分别为A，B，且A，B两点关于y轴对称，则z1z2一定是纯虚数D. 数列{an}满足递推关系式，an+2=an+1+ana1=1,a2=2(n∈N,n>0)，则该数列是严格增数列用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⋅1⋅3…(2n-1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为(    )A. 2k+1 B. 2(2k+1) C. 2k+1k+1 D. 2k+3k+1已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则n=12014f(nπ6)=(    )A. -1B. 12C. 1D. 0已知数列{an}的前n项和是Sn，前n项的积是Tn，n为正整数，则以下命题错误的个数是(    )(1)若{an}是等比数列，且数列{Sn}是严格增数列，则a2022≥a2021；(2)若{an}是等比数列，则{an+an+1}是等比数列；(3)若{Snn}是等差数列，则{an}不一定是等差数列；(4)若{an}(n∈N,n≥2)为严格增数列，且每一项均为正整数，当Sn=Tn时，此时符合条件的数列只有一个．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）-i+2的共轭复数为______．已知一扇形的弧所对的圆心角为π3，半径r=20cm，则扇形的弧长为______cm．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为(-3,4)，则sin2α=______．设{an}是等差数列，且a1=2，a2+a5=29，则{an}的通项公式为an=______．已知向量a=(-2,1)，b=(q,1)，且a在b上的数量投影等于-1，则q=______．数列{an}的通项公式为an=lg(12n+1),1≤n≤1010-1n+2n2,n≥11(n∈N)，则n→∞liman=______．已知点A(-25,35)，若向量AB与α=(1,3)同向，|AB|=52，则点B的坐标为______．高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图(1)(2)，两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力f1与f2大小的比值为______．已知sin(2β+π6)=35，π6≤β≤5π12，则cos2β=______．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知sinω1+sinω2=1021，cosω1+cosω2=621，则cosω2-cosω1sinω2-sinω1=______．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=6，Sn=2an+1，则Sn=______．我校高一同学发现：若O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则存在结论SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0，这位同学利用这个结论开始研究：若O为△ABC内的一点且为内心，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=56，若BO=xBA+yBC，则x+y的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知关于x的实系数一元二次方程x2-3ax-a=0(a∈R)有一对共轭虚根x1，x2．(1)当a=-13时，求共轭虚根x1和x2；(2)若|x1-x2|=23，求实数a的值．已知平面内给定三个向量a=(2,3)，b=(-4,3)，c=(4,1)．(1)求cos；(2)若(a+kc)⊥(2b-a)，求实数k．已知数列{an}中，a2=3，an=an-1+2(n∈N,n≥2)．(1)求数列{an}的前n项和Sn(n∈N,n>0)；(2)若数列{bn}满足bn=1a2n-1a2n+1，数列{bn}的前n项和Tn(n∈N,n>0)，求T2024．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)当a，b，c满足a2+c2=b2+32ac时，求cos2B的值．(2)在(1)条件下若b=3，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积．(3)若△ABC是锐角三角形，且满足b=3，B=π3，求△ABC周长的取值范围．已知：OP1=(1,1)OPn=(xn,yn)=14(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n∈N,n≥2)．(1)设an=|OPn|(n∈N,n>0)，求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn=-43log2an+53-43log2an+203(n>0,n∈N)，且b1，b2，bm(m≥3,m∈N)成等差数列，求m的值；(3)数列{cn}，其中设cn=an2⋅log2an，是否存在n0(n0∈N,n0>0)，对于任意n(n∈N,n>0)满足cn≥cn0？若存在，写出所有项数n0；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：对于A，三角形的内角可以为90°，90°既不是第一象限角，也不是第二象限角，A错误；对于B，若λ>0，则a，b同向，则|a+b|=|a|+|b|，即“存在实数λ，使得b=λa”，不能推出“|a+b|=|a|-|b|”，B错误；对于C，设z1=1，z2=-1，则A(1,0)，B(-1,0)满足关于y轴对称，则z1z2=-1不是纯虚数，C错误；对于D，由an+2=an+1+ana1=1,a2=2(n∈N,n>0)，可得an>0，则an+2-an+1=an>0，又a2>a1，故数列是严格增数列，D正确．故选：D．由象限角的定义、向量的模及加法运算、复数的运算及复数的模、数列的递推及单调性依次判断即可．本题考查了对三角形角的判断、向量的模及加法运算、复数的运算及复数的模及由数列的递推关系确定其单调性，属于中档题．2.【答案】B 【解析】解：当n=k时，左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)，故选：B．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，体现了换元的思想，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．3.【答案】D 【解析】解：∵14T=5π12-π6=π4，ω>0，∴T=2πω=π，∴ω=2；又π6ω+φ=π2+2kπ(k∈Z)，∴φ=π6+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=sin(2x+π6). ∴f(π6)=1，f(2π6)=f(π3)=12，f(3π6)=f(π2)=-12，f(4π6)=f(2π3)=-1，f(5π6)=-12，f(6π6)=f(π)=12，∴n=16f(nπ6)=1+12-12-1-12+12=0，即连续六项之和为0；∴n=12014f(nπ6) =n=12010f(nπ6)+f(2011π6)+f(2012π6)+f(2013π6)+f(2014π6) =n=12010f(nπ6)+f(π6)+f(2π6)+f(3π6)+f(4π6) =0+0 =0．故选：D．利用y=sin(ωx+φ)的部分图象可确定其解析式，从而可求n=12014f(nπ6).本题考查由y=sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查函数的周期性及函数求值，属于中档题．4.【答案】D 【解析】解：(1)依题意Sn+1-Sn>0，即an+1>0，等比数列{an}是正数列，不妨设公比q=12，a1=1，则an=(12)n，{an}是递减数列，a202212，所以q=0(舍去)或者q=43，故答案为：43．利用向量的坐标运算以及投影的定义建立方程，由此即可求解．本题考查了平面向量的数量积运算，涉及到向量的投影，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】10 【解析】解：由题意知，n→∞liman=n→xlim(10-1n+1n2)=10-0+0=10．故答案为：10．直接由数列的极限求解即可．本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】(-5,65) 【解析】解：点B的坐标设为(m,n)，AB=(m+25,n-35)，向量AB与α=(1,3)同向，|AB|=52，即有(m+25)2+(n-35)2=50，3(m+25)=1(n-35)，解得m=-5，n=65，(m=-35,n=0舍去)，即有B(-5,65)，故答案为：(-5,65).点B的坐标设为(m,n)，运用向量的坐标运算和模的公式，以及向量共线定理解方程即可得到所求点的坐标．本题考查向量的坐标运算和向量的模的计算，以及向量共线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】22 【解析】解：设|f1|=xN，|f2|=yN，则xsin45°=ysin30°，可得|f1||f2|=xy=sin30°sin45∘=22．故答案为：22．根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案．本题考查了向量在物理中的应用，属于基础题．13.【答案】3-4310 【解析】解：因为π6≤β≤5π12，可得π2≤2β+π6≤π，又sin(2β+π6)=35，所以cos(2β+π6)=-1-sin2(2β+π6)=-45，则cos2β=cos[(2β+π6)-π6]=cos(2β+π6)cosπ6+sin(2β+π6)sinπ6=(-45)×32+35×12=3-4310．故答案为：3-4310．由题意可求范围π2≤2β+π6≤π，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2β+π6)的值，由于2β=(2β+π6)-π6，利用两角差的余弦公式即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】-53 【解析】解：sinω1+sinω2=2sinω1+ω22⋅cosω1-ω22=1021，① cosω1+cosω2=2cosω1+ω22⋅cosω1-ω22=621，② ∴①②得tanω1+ω22=53.③ ∴cosω2-cosω1sinω2-sinω1=-2sinω1+ω22sinω1-ω222cosω1+ω22sinω1-ω22=-tanω1+ω22=-53，故答案为：-53．利用和差化积公式可求得tanω1+ω22=53，化简cosω2-cosω1sinω2-sinω1=-tanω1+ω22=-53，可得答案．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．15.【答案】6×(32)n-1 【解析】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1=6，Sn=2an+1，∴Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)，即2Sn+1=3Sn，又因为S1=a1=6，∴数列{Sn}是首项为6，公比为32的等比数列，∴Sn=6×(32)n-1，故答案为：6×(32)n-1．把已知的等式变形整理，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题目．16.【答案】12-2311 【解析】解：∵△ABC的内心O到该三角形三边的距离相等，∴SA：SB：SC=a：b：c，∵SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0，∴a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，∴BO=abOA+cbOC，∵BO=xBA+yBC=x(BO+OA)+y(BO+OC)，∴BO=x1-x-yOA+y1-x-yOC，∴x1-x-y=aby1-x-y=cb，∴x+y1-(x+y)=a+cb，∴x+y=a+ca+b+c，∵cosB=56，∴由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-53ac，由基本不等式得b2=(a+c)2-113ac≥(a+c)2-113×(a+c)24=(a+c)212，∴b≥a+c23，当且仅当a=c时，等号成立，∴x+y=a+ca+b+c=11+ba+c≤11+36=66+3=12-2311．故答案为：12-2311．分析得出BO=abOA+cbOC，BO=x1-x-yOA+y1-x-yOC，可求得x+y=a+ca+b+c，利用余弦定理结合基本不等式可求得ba+c的最小值，由此能求出x+y的最大值．本题考查余弦定理、基本不等式、三角形内心的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)当a=-13时，Δ=1-43=-13，则方程x2+x+13=0的根为x=-1±-(-13)i2=-12±36i，解得x1=-12+36i，x2=-12-36i．(2)∵x1+x2=3a，x1x2=-a，∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=9a2+4a=23，整理得9a2+4a=49，a=-4±4218=-2±229，∴a=-2±229． 【解析】(1)利用一元二次方程求根公式求解．(2)由|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2，结合韦达定理能求出实数a的值．本题考查一元二次方程求根公式、韦达定理、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为向量a=(2,3)，b=(-4,3)，所以cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=2×(-4)+3×322+32×(-4)2+32=1365；(2)由题意，a+kc=(2+4k,3+k),2b-a=(-10,3)，由(a+kc)⊥(2b-a)可得(a+kc)⋅(2b-a)=0，即(2+4k)×(-10)+(3+k)×3=0，解得k=-1137． 【解析】(1)由平面向量夹角的坐标公式求解即可；(2)先求出a+kc,2b-a，再由(a+kc)⋅(2b-a)=0解出k即可．本题考查了向量的坐标运算、向量的夹角公式以及数量积的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)由an=an-1+2可得a2=a1+2=3，则a1=1，an-an-1=2，则数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，则an=1+2(n-1)=2n-1，则Sn=(1+2n-1)⋅n2=n2(n∈N,n>0)；(2)由(1)知，a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3，a2n+1=2(2n+1)-1=4n+1，则bn=1a2n-1a2n+1=1(4n-3)(4n+1)=14(14n-3-14n+1)，则T2024=14(1-15+15-19+⋯+18093-18097)=20248097． 【解析】(1)先判断出数列{an}是等差数列，再由等差数列的通项公式求出通项，最后由求和公式求解即可；(2)先求出bn，再由裂项相消法求和即可．本题考查了等差数列的求和公式和裂项相消求和，属于中档题．20.【答案】解：(1)由a2+c2=b2+32ac，可得cosB=a2+c2-b22ac=34，所以cos2B=2cos2B-1=2×916-1=18；(2)由sinA，sinB，sinC成等差数列，且b=3，所以2sinB=sinA+sinC，可得a+c=2b=23，又a2+c2-2accosB=b2，所以(a+c)2-2ac-2accosB=b2，∴12-2ac-2ac×34=3，解得ac=187，cosB=34，所以sinB=74，所以△ABC的面积12acsinB=9728．(3)∵△ABC为锐角三角形，b=3，B=π3，∴00，n=1时，(32-32)+(12-42)=-2-1<0，则c2-c1<0；n=2时，(32-32)×2+(12-42)=22-52>0，又(32-32)n+(12-42)随n的增大而增大，则n≥2时，(32-32)n+(12-42)>0，即cn+1-cn>0；则数列cn的最小值为c2，则存在n0=2，使得对于任意，(n∈N,n>0)满足cn≥cn0． 【解析】(1)由向量的模长公式求得an=24an-1得数列{an}是等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可；(2)先由对数运算求出bn=2n-12n+4，再由等差中项求出m即可；(3)先求出cn=(-32n+2)⋅2-32n+1，由c2-c1<0，n≥2时cn+1-cn>0求得数列cn的最小值为c2，即可求解．本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．