2021-2022学年福建省漳州市诏安县桥东中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年福建省漳州市诏安县桥东中学高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在三棱柱中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知甲袋中有只红球，只白球；乙袋中有只红球，只白球，则随机取一袋，再以该袋中随机取一球，该球是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 图中的
B. 成绩不低于分的职工约人
C. 名职工的平均成绩是分
D. 若单位要表扬成绩由高到低前职工，则成绩分的职工肯定能受到表扬

10. 已知函数，若函数在上有极值，则实数可以取(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知为坐标原点，点，，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

12. 正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列结论正确的是(    )

A. 直线与直线不垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点到平面的距离是点到平面的距离的

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，则的最小值为          ．
14. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为，则在乙地降雨的条件下，甲地也降雨的概率为______．
15. 已知，且，则______．
16. 设函数，已知在区间内为减函数，则的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    有台机床加工同一型号的零件，第台加工零件的次品率为，第，台加工零件的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台机床加工的零件数分别占总数的，，记为“零件为第台机床加工”．
    任取一个零件，计算它是次品的概率；
    如果取到的一个零件是次品，计算它是第台机床加工的概率．
18. 本小题分
    已知函数．
    若，求曲线在处的切线方程；
    若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
19. 本小题分
    的内角，，的对边分别为，，，已知．
    求；
    若，求的最小值．
20. 本小题分
    如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，．
    设为中点，求证：平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

21. 本小题分
    已知函数为偶函数．
    求的值，并证明在上单调递增；
    求满足的的取值范围．
22. 本小题分
    已知函数，，为自然对数的底数．
    讨论的单调性；
    当时，不等式恒成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数的共轭复数是．
故选：．
利用复数运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
则．
故选：．
由，左右两边平方，再根据倍角公式，即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，考查了方程思想，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数，则为偶函数，
，一定为奇函数，故可排除、，
又，
由三角函数可知：时，，
时，，单调递减，故排除．
故选：．
首先利用原函数的奇偶性判断导函数的奇偶性，在求二阶导数，来判断一阶导数的单调性．
本题考查了函数奇偶性以及导函数与原函数的关系，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：把三棱柱补成如图所示长方体，连接，，

则，即为异面直线与所成角或补角．
，，，
所以由余弦定理得异面直线与所成角的余弦值为：
．
故选：．
把三棱柱补成长方体，连接，，则，即为异面直线与所成角或补角，由余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，且与的夹角是钝角，
，且，不共线，即，
解得
故选：．
由数量积小于零且不共线列出不等式组，求解可得实数的取值范围．
本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力，需注意数量积小于不一定能得出两向量夹角为钝角，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设事件表示“选中甲袋”，事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，
则，，，，
则取到的球是红球的概率为：，
故选：．
设事件表示“选中甲袋”事件表示“选中乙袋”，事件表示“取到红球”，利用全概率计算公式能求出取到的球是红球的概率．
本题主要考查全概率计算公式，属于常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，则，
由题意，只需与的图象有三个不同交点即可，
当时，，
易知当时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且时，，，；
当时，，当时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，，
据此做出的草图，由图可知，当，
即时，函数恰有个零点．
故选：．
可将问题转化为与的图象恰有三个交点的问题，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值情况，再做出草图求解．
本题考查函数零点个数的判断方法，考查了数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：，解得，故A正确；
对于：成绩不低于分的职工人数为，故B正确；
对于：平均成绩为，故C错误；
对于：第分位数为，故D错误，
故选：．
利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为可求出的值，前组的频率之和乘以总人数，即为成绩不低于分的职工人数，每个区间中点值乘以该组频率，依次相加，即可得到成绩的平均值，计算第分位数可判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
因为函数在上有极值，
所以，在上有根，
所以在上有变号零点，
又因为，在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：．
求导数，则导函数在上有变号零点，根据单调性判断即可．
本题考查函数的极值，利用导数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：：，，所以，，故，正确；
：，，
所以，
同理，故不一定相等，错误；
：由题意得：，，正确；
：由题意得：，
，故一般来说，故错误；
故选：．
A、写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；、根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误．
本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的模的计算等知识，属于中等题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，假设，
，，平面，平面，
平面，
又平面，
，则，此时不成立，故选项A正确；
对于选项，如图所示，取的中点，连接，，

依题意，，，且，，
平面平面，
又平面，
平面，故选项B正确；
对于选项，如图所示，连接，，延长，交于点，

，为，的中点，
，则，，，四点共面，
截面即为梯形，
又，
，
梯形，故选项C错误．
对于选项，记点，与点到平面的距离分别为，，
，
又，
，故选项D正确．
故选：．
对于，假设，推出矛盾即可；对于，通过证明平面平面可判断；对于，延长，交于点，利用可判断；对于，利用等体积法可判断．
本题考查立体几何的综合运用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据推断出，然后把整理成，进而利用基本不等式求得其最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则．

【解答】

解：，
当时等号成立，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：记“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件，
由题意可得：，，，在乙地降雨的条件下，甲地也降雨的概率，
故答案为：．
根据条件概率计算公式代入计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
所以，
，
所以

，
故答案为：．
由已知先求出，，然后根据正余弦的条件关系求出以，的值，
然后根据，利用余弦的差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到正余弦的条件关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，由已知有在恒成立，
因为，即在恒成立，
对上式进行参变分离可得：，
令，，
故在单调递减，
故，即，
故的取值范围是．
对函数求导，由于函数在内为减函数，故其导函数在内恒小于等于，从而进行参变分离求解最值即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及最值，属于中档题．
 

17.【答案】解：记事件为“任取一个零件为次品”，
由全概率公式得：；
记事件为“第台机床加工”，
． 

【解析】利用全概率公式求解；
利用条件概率求解．
本题主要考查条件概率的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

18.【答案】解：当时，，
，
因此，，
所以曲线在处的切线方程为，
即为；
因为的导数为，
而函数在处取得极值，
所以，即，解得，
因此，．
由得或；由得，
因此函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．
又因为当时，；当时，，
作函数的图象如下图，

由图可知：函数在处取得最大值；在处取得最小值．
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的最大值为，最小值为． 

【解析】本题考查了函数的最值，导数的几何意义，直线的点斜式方程和利用导数研究函数的极值，属于中档题．
利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，计算得结论；
利用导数研究函数的极值得，从而得，再利用导数研究函数的极值得函数在处取得极大值，在处取得极小值，再结合函数的解析式得函数的大致图象，再利用函数的图象，结合函数的最值得函数在处取得最大值；在处取得最小值，从而得结论．
 

19.【答案】解：中，，由正弦定理知，，
，，
，
，，
结合三角形的性质可得．
由得，又，解得，
中，由余弦定理得，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为． 

【解析】利用正弦定理结合三角形内角和，及两角和的正弦公式即可求解．
利用向量数量积得定义可求得的值，利用余弦定理结合基本不等式即可求解．
本题主要考查正弦定理及其应用，解三角形中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：证明：取中点，连接，，
因为为中点，所以，且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．

因为直三棱柱中，所以，，两两垂直，
分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，，，
所以，，，，
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】取中点，连接、，即可得到且，从而得到，再根据线面平行的判定定理得到平面；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值即可．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意函数为偶函数，
，即，
对任意恒成立，解得．
，
任取，则，
由，可得，，即，
在上单调递增．
由偶函数的对称性可得在上单调递减，
，
，解得，
满足的的取值范围是． 

【解析】利用偶函数性质可解，再利用定义法证明单调性，
利用偶函数性质得在上单调递减，得，可解．
本题考查偶函数的性质，属于中档题．
 

22.【答案】解：，当时，，在上单调递减．
当时，令，得，
当时，单调递增；当时，，单调递减．
综上可得：
当时，在上单调递减．
当时，当时单调递增；当时，单调递减．
当时，恒成立，即在时恒成立，
令，则，令，则，
易知在上单调减函数，
，在上单调递减，．
当，即，，
在上单调递减，此时，符合题意；
当，即时，，时，，
使得，
则时，，单调递增，
，不符合题意．
综上所述，． 

【解析】由题意可得，分类讨论和两种情况确定函数的的单调性即可．
当时，不等式等价于在时恒成立，构造函数，利用导数研究都在函数的性质即可求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．