人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教课内容ppt课件

人教版初中数学九年级上册

22.1.6 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学设计

一、教学目标：

1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）

2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）

二、教学过程：

复习回顾
1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同.

2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
(1)当a＞0时, 开口____，当a＜0时，开口____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是_______.

3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)平移____个单位得到；当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小.

4.用配方法把下列二次多项式化为m(x+n)2+p的形式：

(1) x2-6x+5；          (2)-3x2+5x+1.

知识精讲

探究：1.怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？

解

(1)“提”：提出二次项系数；

(2)“配”：括号内配成完全平方式；

(3)“化”：化成顶点式.

2.直接画二次函数的图象.

抛物线的顶点是(6，3)，

对称轴是直线x=6.

解：利用图象的对称性列表：

描点画图，得到的图象.

    在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大.

探究：你能用前面的方法讨论二次函数的图象和性质吗？

开口向下

顶点是(-1，3)

对称轴是直线x=-1

当x＜-1时，y随x的增大而增大；

当x＞-1时，y随x的增大而减小.

一般地，二次函数可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式(顶点式).

对称轴是直线x=-
顶点是(-，)
如果a＞0时，那么当x=-时，y最小值=
如果a＜0时，那么当x=-时，y最大值=

如果a＞0，当x＜-时，y随x的增大而减小，当x＞-时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜-时，y随x的增大而增大，当x＞-时，y随x的增大而减小.

典例解析

例1.已知抛物线y=2x2-12x+13.

（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;

（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.

解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，

∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.

（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；

（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；

（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．

【针对练习】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

例2.如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

下列各选项中，正确的是（　　）

A．这个函数的图象开口向下

B．这个函数的图象与x轴无交点

C．这个函数的最小值小于﹣6

D．当x＞﹣1，y的值随x值的增大而增大

【针对练习】已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的对称轴为(    )

A.y轴         B.直线x=       C. 直线x=2         D.直线x=   

例3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（   ）

A．b≥－1   B．b≤－1       C．b≥1        D．b≤1

解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D .

例4.如图，已知OA所在直线解析式为y=x，点P在线段OA上，PQ∥y轴且与抛物线y=x2-3x相交于点Q，则当PQ＝3时，点Q的坐标为（    ）

A．(1，-2)      B．(1，-2)或(2，-2)   C．(2，-2)    D．(1，-2)或(3，0)

解：由OA所在直线解析式为y=x，点P在线段OA上，设点P(x，x)，

∵PQ∥y轴且与抛物线y=x2-3x相交于点Q，

∴Q(x，x2-3x)，

∵PQ＝3，点P在线段OA上，

∴x-(x2-3x)=3，

解得x=1或x=3，

∴点Q的坐标为(1，-2)或(3，0)．

故选：D．

例5.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当-1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ）

A．y1<y2<y3   B．y2<y3<y1    C．y3<y1<y2     D．y2<y1<y3

解：∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，

∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,-4)，

当y=0时，(x-1)2-4=0，

解得x=-1或x=3，

∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)，

∴当-1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y2<y1<y3.

【针对练习】1．若点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=2x2+4x−1图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(   )（用“<”连接）

A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3 C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1

2．抛物线?=?2−4?−?的图象经过点A（-3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则?1，?2，?3大小关系是（  ）

A．y2<y1<y3 B．y2<y3<y1 C．y1<y3<y2 D．y3<y2<y1

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

达标检测

1.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是(   )

A.y=(x-1)2+2     B.y=(x-1)2+3     C.y=(x-2)2+2     D.y=(x-2)2+4

2.二次函数y=x2+2x-5有(   )

A.最大值-5     B.最小值-5      C.最大值-6     D.最小值-6

3.下列对二次函数y=x2+x的图象的描述,正确的是(   )

A.对称轴是y轴    B.开口向下     C.经过原点    D.顶点在y轴右侧

4.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(   )

A.x<1       B.x>1       C.x<-1      D.x>-1

5.抛物线y=2x2+3x-5与y轴的交点坐标是_________.

6.若抛物线y=x2+bx+1的对称轴在y轴右侧，则b的取值范围是_______.

7.若抛物线y=ax2-12x+3的对称轴是直线x=-3，则a的值为______.

8.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是________________.

9.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=_______.

10.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于_______.

三、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.