初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用巩固练习

3　勾股定理的应用

1.最短路程问题

几何体上的最短路程是将立体图形的　侧面　展开,转化为　平面　上的路程问题,再利用　平面　上两点之间,　线段　最短,解决最短路程问题. 

2.要判断一个角是否是直角的方法

(1)以角的　顶点　为端点,在两边上分别截取长度为　整数　的线段,连接两截点得一个　三角形　. 

(2)测量　第三边　长度. 

(3)试算三边的平方,判断是否满足　a2+b2=c2　;满足,则该角是　直角　. 

3.勾股定理的实际应用

(1)构造合适的　直角　三角形. 

(2)利用勾股定理构造　方程　解决实际问题. 

求立体图形中两点间的最短距离,其关键是在平面展开图中准确找到起始和终止两点.

1.(2021·宁夏石嘴山质检)如图,有两棵树,一树高10米,另一树高4米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行              (B)

A.8米      B.10米      C.12米          D.14米

2.(2021·内蒙古乌兰察布模拟)如图是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5 cm,底面边长为4 cm,则这圈金属丝的长度至少为              (B)

A.8 cm      B.13 cm       C.12 cm        D.15 cm

3.(2021·甘肃金昌模拟)如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距(C)

A.25海里    B.30海里     C.40海里      D.50海里

4.(2021·宁夏吴忠质检)如图,要为一段高5 m,长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯　17　m. 

5.(2021·甘肃张掖质检)如图,一只螳螂在树干的点A处,发现它的正上方点B处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是就绕到虫子后面吃掉它,已知树干的半径为10 cm,A,B两点的距离为45 cm,求螳螂爬行的最短距离(π取3).

【解析】将圆柱形树干的侧面展开,如图所示,根据两点之间线段最短,可得AB即为螳螂爬行的最短距离.

AF=2π×10≈60 cm,BF=45 cm,∴AB2=AF2+BF2≈602+452=752,AB=75 cm.

答:螳螂爬行的最短距离约为75 cm.

1.(2021·甘肃嘉峪关质检)一个圆桶的底面直径为24 cm,高为32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为              (C)

A.20 cm   B.50 cm      C.40 cm          D.45 cm

2.(2021·新疆阿克苏期末)如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1 cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ的面积为　18　cm2. 

3.(2021·内蒙古呼和浩特模拟)如图,一根长度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子拉直,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?

【解析】分两种情况(设AB为木棒):

①如图1,当∠B=90°时,设BC=x cm,则AC=(70-x)cm.

在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即(70-x)2=502+x2,解得x=,

所以BC= cm,AC=70-BC= cm.

②如图2,当∠C=90°时,根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm和40 cm.

答:该点将绳子分成长度分别为 cm和 cm的两段或30 cm和40 cm的两段.

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