专题06 利用一元一次方程解决数轴上动点问题-2021-2022学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题06 利用一元一次方程解决数轴上动点问题
【典型例题】
1．（2021·辽宁·沈阳市沈东初级中学七年级月考）如图，已知数轴上点A表示的数为6，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）数轴上点B表示的数为　　　　，当t＝2时，点P表示的数为　　　　；
（2）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问经过多长时间P，R两点相遇？
（3）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多长时间P，R两点相距2个单位长度？
【答案】（1），2；（2）2秒；（3）或秒．
【分析】
（1）根据点A表示的数为6，且AB＝10，点B在点A的左则，列出算式求解即可；根据点P从点A出发，每秒2个单位长度向左匀速运动，列出算式求解即可；
（2）设经过秒后P，R两点相遇，根据题意列出方程求解即可；
（3）根据两种情况：当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度；当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度，据此根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）点表示的数为；
当时，点P表示的数为：；
故答案是：，2；
（2）设经过秒后P，R两点相遇，
依题意得：，
解之得：；
∴经过2秒后P，R两点相遇；
（3）设P，R两点运动的时间是
当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度，
依题意得：，
解之得：；
当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度，
依题意得：，
解之得：；
综上所述，或秒后，P，R两点相距2个单位长度
【点睛】
本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，要注意分类讨论．







【专题训练】
一、 解答题
1．（2021·河南·郑州市第七初级中学七年级期中）在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发．

（1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？
（2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？
【答案】（1）个单位长度；（2）秒或秒或时
【分析】
（1）先计算出M与P相遇的时间，再计算M返回与Q相遇的时间，根据路程＝速度×时间即可求出M的路程．
（2）根据PQ相距1个单位，设Q出发的时间为t，分情况讨论，P点在Q点的左面和右面和Q到达B时，列出相对的关于t的方程即可求得相对的时间．
【详解】
（1）M出发追上P的时间为4×1÷（8﹣4）＝1（秒），此时，Q点走的路程为6×1=6；M点走的路程为8×1=8；M追上P后再返回与Q相遇时间为（8﹣6）÷（8+6）＝
M一共走了，
答：M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了个单位长度；
（2）设Q点出发t秒后，与P点相距1个单位，则P点运动的时间为t+1秒，
①P在Q点的右边时，AP﹣AQ＝1，
4×（t+1）﹣6t＝1，
解得t＝，
②P在Q点的左边时，AQ﹣AP＝1，
6t﹣4（t+1）＝1，
解得t＝．
③当Q到达B时，t＝，
此时P距B点24-4×(4+1)=4，
再走3个单位长度时，PQ相距1个单位，
t＝4+
∴当Q点出发秒或秒或时，PQ相距1个单位．
【点睛】
本题主要考查的数轴上点的运动，掌握路程＝速度×时间是基本要求，关键在于能用时间t的代数表示出两点间的距离，构建方程模型解决问题．
2．（2021·湖北枝江·七年级期中）定义：点O与点A之间的距离表示为OA，点O与点B之间的距离表示为OB.若点A、点B分别在原点的两侧，OA：OB=4：5，点A对应的数是-16
（1）求点B对应的数及AB的长 ；
（2）点P为A、B之间的动点，其对应的数为x，是否存在点P，使得AP=2OP，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由
（3）在（1）的条件下，若点N、M分别从A、O同时向右出发，速度分别3个单位长度/秒，1个单位长度/秒，N点到达B点后，再立即以同样的速度返回点A后停止，M点到达B点立即停止，设它们的移动时间为t秒，请用含t的代数式直接表示M、N两点之间的距离

【答案】（1）20，36；（2）或16；（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
【分析】
（1）根据点、分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是，即可得出点对应的数，即可求出AB的长；
（2）分点在原点的左边和点在原点的右边即可求解；
（3）分别表示出，，进而求出、两点之间的距离．
【详解】
解：（1）点、分别在数轴原点的两侧，，
点对应的数是，
点对应的数是；
，
AB的长为36；
（2）有两种情况：
①当点在点的左侧时，依题意有
，
解得；
②当点在点的右侧时，依题意有
，
解得．
故的值为或16；
（3）依题意有，
解得，
可得对应的数为，对应的数为或，
当时，、两点之间的距离为；
当时，、两点之间的距离为；
当时，、两点之间的距离为；
当时，、两点之间的距离为；
当时，、两点之间的距离为．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题的关键是根据已知得出各线段之间的等量关系，利用分类讨论的思想进行求解．
3．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-4和8．
（1）A、B两点之间的距离为_______；
（2）若数轴上点C到A的距离是到B的距离的3倍，则称点C为A、B两点的伴侣点，求A、B两点的伴侣点C在数轴上对应的数是多少？
（3）如图，如果点P和点Q分别从点A、B同时出发，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位．
①当P、Q两点相向而行相遇时，点P在数轴上对应的数是________；
②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距3个单位长度?

【答案】（1）12；（2）14或5；（3）①；②或或或秒
【分析】
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）设、两点的伴侣点在数轴上对应的数是．根据列出方程，解方程即可；
（3）①先求出、两点相向而行相遇时所需的时间，再求出点在数轴上对应的数即可；
②设点出发秒后，与点之间相距3个单位长度．由于，由于点和点分别从点、同时出发，且点的运动速度小于点的运动速度，所以它们同时向右运动时、两点之间的距离．然后分两种情况进行讨论：Ⅰ、两点相向而行，Ⅱ、两点都向左运动．根据列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）数轴上两点、对应的数分别为、8，
、两点之间的距离为：．
故答案为12；
（2）设、两点的伴侣点在数轴上对应的数是．
数轴上点到的距离是到的距离的3倍，
，
，
，或，
解得，或．
故、两点的伴侣点在数轴上对应的数是14或5；
（3）①当、两点相向而行相遇时，所需时间为：（秒，
此时点在数轴上对应的数是：．
故答案为；
②设点出发秒后，与点之间相距3个单位长度．
分两种情况：
（Ⅰ）、两点相向而行，
此时点对应的数为，点对应的数为，
，
，
，或，
解得，或；
（Ⅱ）、两点都向左运动，
此时点对应的数为，点对应的数为，
，
，
，或，
解得，或．
综上所述，点出发或或或秒后，与点之间相距3个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，行程问题数量关系的应用，数轴上两点间的距离公式，数轴上点的表示，比较复杂，解题的关键是正确表示数轴上两点间的距离、正确进行分类讨论．
4．（2021·河南·洛阳市第二外国语学校七年级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12，16（规定：数轴上两点A，B之间的距离记为AB）．点P与点Q分别从A，B两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是2个单位/秒，4个单位/秒，它们运动的时间为t秒．

①点P与点Q在A，B两点之间相向运动，当它们相遇时，求时间t的值．
②点P与点Q都向左运动，当Q追上点P时，求点P对应的数；
③点P与点Q在点A与点B之间相向运动，当PQ＝8时，t的值是　 　．
【答案】①；②-40；③或6
【分析】
①根据路程和等于距离列方程解答即可；
②t秒后点P表示的数是-12-2t，点Q表示的数是16-4t，列方程-12-2t=16-4t，求解即可；
③分相遇前及相遇后两种情况解答．
【详解】
解：①AB=16-(-12)=28，由题意得2t+4t=28，
解得；
②t秒后点P表示的数是-12-2t，点Q表示的数是16-4t，
∴-12-2t=16-4t，
解得t=14；
∴点P表示的数是-12-2t=-40；
③相遇前：2t+4t=28-8，得，
相遇后：2t+4t=28+8，得t=6，
∴当PQ＝8时，t的值是或6，
故答案为：或6．
【点睛】
此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的动点问题，行程问题的应用题的解题方法，正确理解行程问题与数轴上点的运动问题的关系是解题的关键．
5．（2021·重庆市育才中学七年级期中）如图，点A表示的数为﹣3，线段AB＝12（点B在点A右侧），动点M从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点N从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动）．当点M到达B点时，M、N两点都停止运动．设点M的运动时间为x秒．
（1）当x＝2时，线段MN的长为 　 　．
（2）当M、N两点第一次重合时，求线段BN的长；
（3）是否存在某一时刻，使点BN的中点恰好落与点M重合，若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4；（2）；（3）当x= 9.6时，恰好重合
【分析】
（1）结合图形，分别表示出、的长，即可得MN的长；
（2）设x秒后M，N重合，根据题意列出方程求解即可；
（3）点BN的中点恰好落与点M重合分三种情况讨论，分别列出方程，求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知：，，则或
当时，，
当时，，
∴
故答案为：4；
（2）设x秒后M，N重合，得：，
解得：，
；
（3）当点M从点A运动到B时，用时：秒；当点N从点B运动到A时，用时：秒；
①当点N从点B出发后，运动到A时，即时，
，
解得：，（舍去）
②当点N到点A后，从点A到点B过程中，即时，
，
解得：，（舍去）
③当点N返回B点，从点B出发运动到A时，即时，
，
解得：，
综上可得：当时，点BN的中点恰好落与点M重合．
【点睛】
题目主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解题意，利用树形结合思想进行分类讨论是解题关键．
6．（2021·福建·福州三牧中学七年级期中）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为－20，且，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右移动．点N以每秒2个单位长度的速度从点B向左运动（点M、N同时出发）．

（1）点B对应的数是______________；
（2）当运动的时间为3秒时，请你求出此时点M、N在数轴上对应的数，并求出M、N之间的距离；
（3）经过几秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍？
【答案】（1）12；（2）点、在数轴上对应的数分别为和6，、之间的距离是17；（3）经过4秒或秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍．
【分析】
（1）根据点表示的数为，，可得点对应的数；
（2）求出运动距离，即可求出点、在数轴上对应的数，、之间的距离；
（3）分①点在点左侧、点在点右侧时；②点、点在点左侧时；③点在点右侧、点在点左侧时，三种情况讨论求解．
【详解】
解：（1），对应的数是12，
故答案为：12．
（2）；；
，
所以点、在数轴上对应的数分别为和6，、之间的距离是17；
（3）①设经过秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍，
此时点对应的数为，点对应的数为．
点在点左侧、点在点右侧时，则，解得；
②点、点在点左侧时，
点在点时，所花时间为：，
设再经过秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍，
则，解得，
；
③点在点右侧、点在点左侧时，
点在点时，所花时间为：，点前进的距离为，
设再经过秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍，
则，
解得：（不符合题意，舍去），
所以经过4秒或秒，点M到原点O的距离是点N到原点O的距离的两倍．
【点睛】
本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7．（2021·山东·济南育英中学七年级期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．
（1）填空：______，______，______；
（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①当AC长为6时，求t的值；
②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①或；②存在，的值为或2．
【分析】
（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出的值；
（2）①先求出运动秒后，点所表示的数，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；
②先求出运动秒后，点所表示的数，从而可得的长，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别求出的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得．
【详解】
解：（1）是最小的正整数，
，
，
，
解得，
故答案为：；
（2）①由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，
当点在点左侧时，，解得，
当点在点右侧时，，解得，
综上，的值为或；
②由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，
当时，，
当时，，
因为点在点左侧，
所以，
当点在点左侧，即时，，
则，
由得：，
即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；
当点在点右侧，即时，，
则，
由得：，
即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；
综上，存在一个常数使得的值在某段运动过程中不随的改变而改变，的值为或2．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．
8．（2021·江苏昆山·七年级期中）如图，A，B是数轴上的两点，A对应的数为－2，B对应的数为10，O是原点．动点P从点O出发向点B匀速运动，速度为每秒1个单位长度，动点Q从点A出发向点B匀速运动，速度为每秒3个单位长度，到达点B后立即返回，以原来的速度向点O匀速运动，当点P，Q再次重合时，两点都停止运动．设P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当点Q到达点B时，点P对应的数为 ；
（2）在点Q到达点B前，点Q对应的数为 （用含t的代数式表示）；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时，P，Q两点相距个单位长度．

【答案】（1）4；（2）；（3）或或
【分析】
（1）先求出Q到达B点时所用时间，再求出这个时间P运动的距离即可．
（2）先确定Q所运动的距离为3t，再减去A点的值即为所求．
（3）先求出P、Q第二次相遇的时间，得到t的取值范围．分①点Q到达点B前，②点Q到达点B后，写出PQ的长度（用t表示），由PQ＝列方程，求出满足的条件t的值．
【详解】
解：（1）∵A对应的数为－2，B对应的数为10，
∴ ，
∵动点Q从点A出发向点B匀速运动，
∴，
当时，点P对应的数为 ；
（2）在点Q到达点B前，Q所运动的距离为3t，
点Q对应的数为 ；
（3）①点Q到达点B前，
点P在右边，点Q在左边，
，
解得： ，
点P在左边，点Q在右边，
，
解得： ，
②点Q到达点B后，
点P与点Q重合，
，
解得： ，
点P在左，点Q在右，
，
解得： ，
点P在右，点Q在左，
，
解得： ，
∵ ，
∴舍去，
∴当P、Q两点相距个单位长度时，或或．
【点睛】
本题考查数轴的应用以及一元一次方程，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．（2021·江苏·七年级专题练习）已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．

（1）A，B两点间的距离为 　 　个单位长度；乙到达A点时共运动了 　 　秒．
（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）60，15；（2）甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20
【分析】
（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|﹣40﹣20|，根据题意即可求解；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论；
（4）设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇，根据题意得方程解方程即可．
【详解】
（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；
故答案为：60，15；
（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得：x+4x＝60，
解得 x＝12，
﹣40+x＝﹣28．
即甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；
（3）两种情况：
相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，
根据题意得，y+4y＝60﹣10，
解得y＝10；
相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，
y+4y﹣60＝10，
解得：y＝14，
即10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；
（4）乙到达A点需要15秒，甲行驶了15个单位长度，
设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇
根据题意得方程：4(a-15)=15+1×（a-15）
解方程得：a=20
由于甲到达B点需要时间为60秒，而20