2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一　第1课时　利用导数证明不等式（课件）

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考情分析导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
考向1.直接构造函数证明不等式例1.(2021天津南开中学高三期中)已知函数f(x)=(x-a)ex在x=1处取得极值.(1)求实数a的值;(2)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)>-x-2.
(1)解 f'(x)=(x-a+1)ex,由于f(x)在x=1取得极值,所以f'(1)=0,即(2-a)e=0,解得a=2.(2)证明 由(1)知f(x)=(x-2)ex,不等式f(x)>-x-2,即(x-2)ex+x+2>0.令g(x)=(x-2)ex+x+2,则g'(x)=(x-1)ex+1.令g'(x)=p(x)=(x-1)ex+1,则p'(x)=xex,因为x>0,所以p'(x)>0,因此p(x)即g'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)>g'(0)=0,于是g(x)在(0,+∞)上单调递增,因此g(x)>g(0)=0,故原不等式成立.
方法总结直接构造函数证明不等式(1)证明不等式f(x)≥g(x)的一般步骤:首先构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后求h'(x),并判断h'(x)在给定区间上的正负,确定h'(x)的单调性,从而结合区间端点的函数值即可证得结论.(2)构造函数利用单调性证明不等式的关键是构造函数,确定其单调性,为了使构造的函数更容易地判定其单调性,有时还会先将欲证不等式进行合理地等价变形,再构造函数,尤其是对于含有ln x和ex的函数,经常采用以下技巧:
①含有ln x的情况:当函数形如f(x)=ln x·g(x)+h(x)等的形式时,如果直接对f(x)求导,会得到f'(x)= +ln x·g'(x)+h'(x),导函数中仍然含有ln x,这时解方程f'(x)=0或不等式f'(x)>0都将比较麻烦,甚至不能直接求解,需要采取“二次求导”或“虚设零点”的办法解决问题.但如果将解析式进行转化,将对数函数ln x单独分离出来,化为f(x)=ln x+p(x)的形式,那么再对f(x)求导,会得到f'(x)= +p'(x),这时导函数中不再含有ln x,解方程f'(x)=0或不等式f'(x)>0就比较容易了.
②含有ex的情况:当函数形如f(x)=ex+g(x)等的形式时,如果直接对f(x)求导,会得到f'(x)=ex+g'(x),导函数中仍然含有ex,这时方程f'(x)=0或不等式f'(x)>0都是超越方程或不等式,求解将比较麻烦,甚至不能直接求解,需要采取“二次求导”或“虚设零点”的办法解决问题.但如果将函数解析式转化为exf(x)
对点训练1(2021福建宁德高三月考)已知函数f(x)=(x+1)ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当x≥1时,f(x)≥2(x-1).
考向2.放缩法证明不等式例2.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=aln(x-1)+ ,其中a为正实数.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当x>2时,f(x)(2)证明设h(x)=ln x-(x-1),则h'(x)= -1,令h'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,所以h(x)在x=1时取得极大值亦即最大值h(1)=0.因此h(x)=ln x-(x-1)≤0,即ln x≤x-1.所以当x>2时,有ln(x-1)≤x-2.又因为a>0,
名师点析放缩法证明不等式在证明不等式的时候,若直接证明比较困难,可将不等式中的部分项进行放大或缩小,然后证明放缩后的不等式成立,再根据不等式的传递性证明原不等式成立,这种方法就是放缩法证明不等式,常用的放缩技巧有:(1)ex≥x+1;(2)ex-1≥x;(3)ln x≤x-1;(4)ln(x+1)≤x等.
对点训练2(2021辽宁辽南协作校高三二模)设函数f(x)=axln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(1)求函数f(x)的极值;
(1)解f'(x)=aln x+a,则f(1)=0,f'(1)=a,故y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=a(x-1),把点(3,2)代入切线方程可得a=1,f'(x)=ln x+1,x>0.
考向3.凹凸反转证明不等式例3.(2021河南郑州三模)已知函数f(x)=xln x-ax+1.(1)求函数f(x)的最小值;
(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-a.令f'(x)=ln x+1-a=0,得x=ea-1,且当x∈(0,ea-1)时,f'(x)<0;当x∈(ea-1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=ea-1处取得极小值亦即最小值f(ea-1)=(a-1)ea-1-aea-1+1=1-ea-1.
方法点拨“凹凸反转法”证明不等式“凹凸反转法”证明不等式的方法步骤
对点训练3(2021河北石家庄高三期末)已知函数f(x)= +a(a≤0)且f(1)·f(-1)=-1.(1)求函数f(x)的单调区间;
当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1),f(x)的单调递减区间为(1,+∞).
例4.(2021山东烟台三模)已知函数f(x)= -a(a∈R).(1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
所以h(x)在x=1处取得极大值亦即最大值h(1)=1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
名师点析证明与数列有关的不等式的策略在证明与数列有关的不等式时,往往是从题目中已经证得的结论(参数取值范围、不等式等)出发,通过特殊化处理,即将其中的变量替换为特殊的变量,尤其是可替换为与自然数n有关的式子,然后再结合数列中的裂项求和以及不等式的放缩等方法证得结论.