还剩24页未读，
继续阅读
2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章 一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（课件）
展开这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章 一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（课件），共32页。
考向1.“分离参数法”解决不等式恒成立问题例1.(2021湖北荆州高三期中)已知函数f(x)=asin x-2x+1,x∈(0,π)(a∈R).(1)证明:当a=2时,f(x)<1;(2)当x∈(0,π)时,f(x)≤1+sin 2x恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明 当a=2时,f(x)=2sin x-2x+1,f'(x)=2cs x-2=2(cs x-1).因为x∈(0,π),所以f'(x)<0恒成立,即f(x)在(0,π)上单调递减,所以当x∈(0,π)时,都有f(x)
对点训练1(2021天津南开中学高三期中)已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求与函数f(x)相切且斜率为1的直线方程;(2)若g(x)=f(x)+ax+2,当x∈[1,e]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解 由已知得f'(x)=2- (x>0).(1)因为直线斜率为1且与函数f(x)相切,所以f'(x)=1,即2- =1,解得x=1,而f(1)=0,所以切点为(1,0),故直线方程为x-y-1=0.
考向2.“最值法”解决不等式恒成立问题例2.(2021河南洛阳高三月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=(x-1)ex- .(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),当a=e时,f'(x)=x(ex-e).在(0,1)上,f'(x)<0,f(x)单调递减;在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
(2)函数f(x)的导数为f'(x)=x(ex-a).①若a≤1,则在(0,2]上,f'(x)>0恒成立,f(x)单调递增,因此f(x)max=f(2)=e2-2a>3,不合题意;②若1
方法点拨“最值法”解决不等式恒成立问题在不等式恒成立问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立⇔g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)<0恒成立⇔g(a)<0,f(x,a)≤0恒成立⇔g(a)≤0.
对点训练2(2021山东潍坊高三月考)已知函数f(x)=aln(x+1),a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=3处的切线方程;(2)若对任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≥x- x2恒成立,求实数a的取值范围.
考向3.“同构法”解决不等式恒成立问题例3.(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).
方法点拨“同构法”解决不等式恒成立问题在不等式恒成立求参数的取值范围问题中,如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数,可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑,将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式,然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题,从而解决问题,这种解题方法通常称之为“同构”,同构的三种基本模式如下:
对点训练3(2021湖南永州高三第一次模拟)已知函数f(x)=aex+ln a,g(x)=ln(x+1)+1(其中a为常数,e是自然对数的底数).若函数y1=f(x)-ln a在点A(0,a)处的切线为l1,函数y2=g(x-1)-1在点B(a,0)处的切线为l2.(1)若l1∥l2,求直线l1和l2的方程;(2)若f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)根据题意可知,函数y1=f(x)-ln a=aex在点A(0,a)处的切线为l1,函数y2=g(x-1)-1=ln x在点B(a,0)处的切线为l2.而y'1=aex,y'2= ,又因为l1∥l2,所以a= .又因为a>0,所以a=1.因为切线l1过点(0,1),斜率为k1=1;切线l2过点(1,0),斜率为k2=1,所以l1为x-y+1=0,l2为x-y-1=0.故所求的直线方程为l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0.
(2)因为f(x)=aex+ln a,g(x)=ln(x+1)+1.所以f(x)>g(x)恒成立,即aex+ln a>ln(x+1)+1在(-1,+∞)上恒成立,可等价转化为aex+ln(aex)>ln(x+1)+(x+1)在(-1,+∞)上恒成立.设h(t)=t+ln t,则
考向4.“端点效应法”解决不等式恒成立问题例4.(2021江苏南京高三期中)已知f(x)=ex- x2-ax-1(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=ex- x2-1,f'(x)=ex-x.由于ex≥x+1>x,所以f'(x)=ex-x>0,因此函数f(x)在R上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)函数f(x)的导数f'(x)=ex-x-a,又因为f'(0)=1-a,令f'(0)=1-a≥0得a≤1.①当a≤1时,因为x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a(x≥0),则g'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)单调递增,所以f'(x)≥f'(0)=1-a≥0,因此f(x)在[0,+∞)上单调递增,于是f(x)≥f(0)=0恒成立.
②当a>1时,因为x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a(x≥0),则g'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)单调递增,而f'(0)=1-a<0,所以存在x0∈(0,+∞)使得当x∈(0,x0)时f'(x)<0,即f(x)在(0,x0)上单调递减,因此存在f(x)
对点训练4(2021福建莆田第三次质检)已知函数f(x)=m(x+1)2-1-2ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围.
例5.(2021湖北黄冈高三模拟)已知函数f(x)= +aln x(a∈R,a≠0).(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=2x2f'(x)-xf(x)-3a(a<0),且存在实数x1,x2∈[1,e2],使得不等式2g(x1)
方法点拨不等式中“任存”问题的求解方法及注意点(1)如果不等式中涉及两个函数,两个变量,且两个变量前面带有逻辑中的“量词”,那么这样的不等式问题均可转化为两个函数的最值之间的大小关系.一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],那么有以下转化方法:①若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)
解 (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2-sin x,又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-x2+sin x.又因为f(0)=0,所以
相关课件
2024届人教A版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题课件：
这是一份2024届人教A版高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题课件，共52页。PPT课件主要包含了四字程序等内容，欢迎下载使用。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件北师大版：
这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件北师大版，共44页。
备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题课件PPT：
这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第3章 导数及其应用 解答题专项一 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题课件PPT，共29页。
