2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.2　等差数列（课件）

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知识梳理1.等差数列的概念(1)等差数列:一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它前一项的差都等于　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的　　　　,公差通常用字母　　表示,定义的表达式为an-an-1=d(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(n∈N*). (2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有　　　　　　. 
微点拨(1)等差数列中,从第2项起,每一项都是它前一项与后一项的等差中项,即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
　　　　　　 　　
(2)任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
2.等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式:an=　　　　　(n∈N*). (2)等差数列前n项和公式:Sn=　　　　　=　　　　　　. 
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b(k,b∈R),当k=0即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数;同理Sn不一定是关于n的二次函数,当数列为常数列时,Sn=bn,不是二次函数.
3.等差数列的常用性质(1)等差数列的通项公式的推广:an=am+　　　　(n,m∈N*). (2)若数列{an}为等差数列,且m+n=p+q,则　　　　　　(m,n,p,q∈N*). 特别地,若m+n=2t,则am+an=2at(m,n,t∈N*).(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
am+an=ap+aq
常用结论1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).2.若数列{an}的前n项和为Sn,则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn=an2+bn(a,b∈R)”.3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.4.在等差数列{an}中,若d>0,则数列{an}为递增数列;若d<0,则数列{an}为递减数列;若d=0,则数列{an}为常数列.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若{an}为等差数列,则{|an|}一定不是等差数列.(　　)(2)在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(　　)(3)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(　　)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大值.(　　)
2.已知等差数列的前3项分别是a-1, a,a+3,则其通项公式是　　　　　. 
3.在等差数列{an}中,若a6=10,a15=1,则a21的值等于　　　　　. 
答案 an=2n-5　
解析 依题意得a-1+a+3=2× a,解得a=-2,于是该数列首项为-3,公差为-1-(-3)=2,所以通项公式为an=-3+2(n-1)=2n-5.
典例突破例1.(1)(2021山东青岛高三月考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=S2+a11,且a1=1,则a8=(　　)A.8B.15C.64D.82(2)(多选)(2021湖北武汉高三期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=1.若a1+3a5=S7,则以下结论正确的是(　　)A.a3=-1 B.Sn的最大值为-6C.S3=S5 D.当n>7时Sn>0
答案 (1)B　(2)AD　
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.
(2)由a1+3a5=S7,得a1+3(a1+4)=7a1+21,解得a1=-3.对于A选项,a3=a1+2d=-3+2=-1,故A正确;对于B选项,由于公差d=1>0,所以数列{an}是递增数列,因此Sn无最大值,故B错误;对于C选项,S3=3a1+3d=-9+3=-6,S5=5a1+10d=-5,
方法总结解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)等价转化思想:运用等差数列性质可以化繁为简,优化解题过程.
对点训练1(1)(2021湖南长沙高三期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=12,S3=9,则a7=　　　　　. (2)(2021湖南邵阳二中高三月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则数列{an}的通项公式为　　　　. 
答案 (1)13　(2)an=-2n+22　
解析 (1)设数列{an}的公差为d,则S3=3a2=9,a2=3,所以a3+a4=3+d+3+2d=12,解得d=2,所以a7=a2+5d=3+5×2=13.
(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),得2a1d=-20d2.因为d≠0,所以a1=-10d,所以-20d+5d=30,得d=-2,a1=20,所以an=a1+(n-1)d=20+(n-1)×(-2)=-2n+22.
典例突破例2.(2021辽宁大连高三月考)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且对任意n∈N*,anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an恒成立.(1)求证:数列{ }是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若不等式λan>n-5对任意的正整数n恒成立,求实数λ的取值范围.
(1)证明 因为anSn+1-an+1Sn=2an+1-2an,所以an(Sn+1+2)=an+1(Sn+2).又数列{an}各项均为正数,即anan+1>0,所以
Sn=2an-2.当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,从而得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,因此数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故数列{an}的通项公式为an=2n.
方法总结等差数列的判断与证明的方法
考向1.等差数列的性质典例突破例3.(1)(2021广东南海中学高三月考)各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a8= ,则S9=(　　)A.8B.9C.16D.18(2)(2021江西景德镇高三模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2 020,则m的值为(　　)A.100 B.101C.200 D.202
答案 (1)D　(2)B　
技巧点拨利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)等差数列中两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn= 中,Sn与a1+an可以相互转化.(2)在等差数列中,前奇数项的和与中间项的关系S2n-1=(2n-1)an可以将中间项与前n项和联系起来,相互转化.
对点训练3(1)(2021北京丰台高三月考)在等差数列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x+2=0的两根,则{an}的前12项的和为(　　)A.6 B.18C.-18 D.-6(2)已知{an}和{bn}是两个等差数列,其中 (1≤k≤5)为常数,a1=288,a5=96,b1=192,则b3=(　　)A.64 B.128C.256 D.512
答案 (1)C　(2)B　
考向2.等差数列前n项和的性质典例突破
解析 (1)由等差数列前n项和的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,令S4=k,则S8=3k,则S8-S4=2k,S12-S8=3k,S16-S12=4k,所以S12=6k,S16=10k,故
易错警示1.在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,并不是Sm,S2m,S3m成等差数列,在运用时注意区分.
对点训练4(1)(2021陕西安康高三月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 =1,S4=16,则a1=(　　)A.1B.2C.3D.4
考向3.等差数列的最值问题典例突破例5.(2021安徽芜湖高三检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=-16,S9=-36,则Sn的最小值是　　　　. 
答案 -42　
方法总结求等差数列前n项和Sn最值的两种方法