2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--8.1　基本立体图形及空间几何体的表面积和体积（课件）

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知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征
围成多面体的每一个面都是平面图形,没有曲面
微点拨(1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.(2)台体可以看成是由锥体截得的,但一定要知道截面与底面平行.
微思考有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?
提示 不一定.如图.
(2)旋转体的结构特征
　旋转体一定有旋转轴
微点拨旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.
2.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
　九十度、画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
微点拨一些几何体表面上的最短距离问题,常常利用几何体的展开图解决.
4.柱、锥、台和球的表面积和体积
微点拨(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.(2)求几何体的体积时,要注意利用分割、补形与等积法.
微思考柱体、锥体、台体体积之间有什么关系?
常用结论1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为
2.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)(3)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　)(4)菱形的直观图仍是菱形.(　　)
2.已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π,则该圆锥的体积为　　　　. 
3. 在△ABC中,AB=2,BC= ,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC绕直线BC旋转一周,则形成的旋转体的体积是　　　　　. 
解析 如图,该旋转体的体积是以AD为底面半径,CD和BD为高的两个圆锥的体积之差.因为∠ABC=120°,所以∠ABD=60°.
考向1.结构特征典例突破例1.(多选)下列结论正确的是(　　)A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线
解析 A错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在的直线,所得的几何体都不是圆锥;C正确,因为棱锥是一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以棱锥的各侧棱相交于一点,但各侧棱不一定相等;由母线的概念知,选项D正确.故选CD.
方法总结辨别空间几何体的两种方法
对点训练1(多选)下列说法中正确的是(　　)A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等
解析 根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等,故A错误;因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面,故B正确;如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形,故C正确;棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等,故D错误.
考向2.直观图典例突破例2.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为(　　)
解析 如图1,图2为所示的平面图形和直观图.
突破技巧按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图= S原图形.
对点训练2如图是一个水平放置的直观图,是一个底角为45°,腰和上底均为1,下底为 +1的等腰梯形,那么原平面图形的面积为　　　　　. 
解析 ∵平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,∴平面图形为直角梯形,且直角腰长为2,上底边长为1,
考向3.展开图典例突破
解析 由题意,将平面DCC1D1展开到矩形ACC1A1所在平面,结合展开图可知当A,M,D1三点共线时,MD1+MA取得最小值,最小值为展开图中D1A的长度.
名师点析多面体表面展开图可以有不同的形状,应多实践,观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系,一定先观察立体图形的每一个面的形状,借助展开图,培养直观想象素养.
对点训练3有一个圆锥侧面展开图是半径为2,圆心角为 的扇形,则该圆锥的高是　　　　　. 
典例突破例4.(1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为(　　)
(2)(2021新高考Ⅱ,5)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为(　　)
(3)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为　　　　. 
解析 (1)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC.又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为
(2)作出图形,连接该正四棱台上下底面的中心,如图,因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,
方法总结求空间几何体的体积的三种方法
对点训练4 (1)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(　　)
答案 (1)A　(2)D　
考向1.简单几何体的外接球典例突破例5.(2020全国Ⅰ,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　)A.64πB.48πC.36πD.32π
方法总结处理“相接”问题,要抓住空间几何体“外接”的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
对点训练5(2021天津武清杨村第一中学模拟)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(　　)A.12πB.20πC.24πD.32π
解析 将三棱锥P-ABC放在一个长方体中,如图.则三棱锥P-ABC的外接球就是一个长方体的外接球.因为PA=AB=2,AC=4,△PAC为直角三角形,设长方体的外接球的半径为R,则PC2=(2R)2=4+16=20,故R2=5.所以外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选B.
考向2.简单几何体的内切球典例突破例6.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是　　　　. 
方法总结处理“相切”问题,要找准切点,通过作截面来解决,截面过球心.