2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第八章　立体几何与空间向量 高考解答题专项四　第3课时　综合问题（课件）

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典例突破例1.(2021河南新安第一高级中学模拟)已知正三角形ABC的边长为6,点E,D分别是边AB,AC上的点,且满足 (如图1),将ADE沿DE折起到A1DE的位置(如图2),且使A1E与底面BCDE成60°角,连接A1B,A1C.
(1)求证:平面A1BE⊥平面BCDE;(2)求二面角A1-CD-E的余弦值.
由余弦定理可得DE2=AD2+AE2-2AD·AEcs∠DAE=12,∴AE2+DE2=AD2,则DE⊥AB.折叠后,在题图2中,则DE⊥A1E,DE⊥BE,∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE.∵DE⊂平面BCDE,故平面A1BE⊥平面BCDE.
(2)解 过点A1在平面A1BE内作A1M⊥BE,垂足为点M,∵平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1M⊂平面A1BE,∴A1M⊥平面BCDE,∴A1E与平面BCDE所成的角为∠A1EM=60°.
∵DE⊥平面A1BE,以点E为坐标原点,EB,ED所在的直线分别为x,y轴,垂直ED,BE的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,
名师点析翻折问题的两个解题策略
对点训练1(2021安徽合肥三模)在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,M为线段AD中点.将△ABC沿AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到几何体B-ACD.(1)求证:AB⊥平面BCD;(2)求直线BD与平面BCM所成角的正弦值.
∴AD2=CD2+AC2,∴CD⊥AC.又平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AB.又AB⊥BC,BC∩CD=C,∴AB⊥平面BCD.
(2)解 取AC的中点O,连接OB,由题可知△ABC为等腰直角三角形,∴OB⊥AC,又平面ABC∩平面ACD=AC,∴OB⊥平面ACM,连接OM,∵M,O分别为AB和AC的中点,∴OM∥CD,由(1)可知OM⊥平面ABC,故以OM,OC,OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
典例突破例2.(2021湖南长郡中学一模)如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记 =λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?如果是,请说明理由;如果不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值大小.
解(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面.又EN∥平面BMD,EN⊂平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四边形NEDP为平行四边形,
(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小不改变.取DE的中点O,由平面MDE⊥平面DECB,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,如图建立空间直角坐标系,
方法总结与空间角有关的存在性问题的解题流程
对点训练2 已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO⊥平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为 ,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.
(1)证明 因为△PAD是正三角形,O是AD的中点,所以PO⊥AD.又因为CD⊥平面PAD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥CD.AD∩CD=D,AD,CD在平面ABCD中,所以PO⊥平面ABCD.
(2)解 如图,因为G为BC的中点,所以OG⊥AD.以O点为原点,分别以OA,OG,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则
整理得2λ2-3λ+2=0,Δ