2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第九章　平面解析几何 解题技巧(九) 求曲线轨迹方程的方法（课件）

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求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求表示已知,即
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程例1.(2021河南新乡一中期末)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线,切点为M.(1)若点P(1,3),求此时的切线l的方程;(2)当|PM|= |PO|时,求点P的轨迹方程.
解 (1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.当切线斜率不存在时,直线为x=1,满足条件;当切线斜率存在时,切线方程可以设为l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.
∴切线方程为3x+4y-15=0或x=1.(2)设P(x,y).∵|PM|= |PO|,且2|PO|2=2x2+2y2,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2=(x+1)2+(y-2)2-4=2x2+2y2,∴x2+y2-2x+4y-1=0,∴点P的轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=6.
名师点析直接法求轨迹方程的两种策略
对点训练1(2021福建厦门模拟)设点A,点B的坐标分别为(-5,0),(5,0),动点M满足直线AM,BM的斜率之积为- ,求点M的轨迹方程.
二、定义法求轨迹方程
例2.(2021安徽池州一中月考)在平面直角坐标系中,动圆M与圆x2+y2-2x+ =0外切,同时与圆x2+y2+2x- =0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
方法总结利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)圆P与圆A外切,且过点B(P为动圆圆心);(2)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).
解 (1)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即
(2)由题可知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y2=-8x.
三、代入法(相关点法)求轨迹方程例3.(2021河北新乐第一中学)已知圆C:x2+y2-4x+2y-a=0,点N(4,0)为圆C外一点.(1)求实数a的取值范围;(2)已知a=-2,若M是圆C上一动点,求MN中点P的轨迹方程.
解 (1)根据题意,圆C:x2+y2-4x+2y-a=0可化为(x-2)2+(y+1)2=5+a.
解得-5将M的坐标代入圆C的方程得(2x-6)2+(2y+1)2=3,所以MN中点P的轨迹方程
方法总结利用代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.
四、参数法求轨迹方程
例4.(2021湖北武汉外国语学校)如图,椭圆C: =1的右顶点为A,上顶点为B,动直线交椭圆C于M,N两点,且满足∠MON=90°,过原点O作OH⊥MN,垂足为H.求点H的轨迹方程.
解 设M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN斜率不为零时,设直线MN的方程为x=my+t.
因为∠MON=90°,所以MO⊥ON,
所以x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y2+y1)+t2=0,
方法总结应用消参法求轨迹方程的流程选参→求参→消参→注意消参后曲线的范围是否发生变化
对点训练4点A和点B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程.
解 当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0).
由①,②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又点(4p,0)满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.
五、交轨法求轨迹方程例5.如图,已知椭圆C: =1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求动点N的轨迹方程.
解 (方法1)设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由题意知B1(0,-3),B2(0,3),
(方法2)设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由题意知B1(0,-3),B2(0,3),
方法总结交轨法一般根据动点在两条动直线上,利用动直线方程,消去不必要的参数得到动点的轨迹方程,注意通过几何意义确定曲线的范围.